Cilindri che rotolano: chi arriverà primo? – Parte 1

Walter Lewin

Un professore di fisica molto interessante… Photo: Dominick Reuter

Recentemente ho trovato un video di Walter Lewin, che per non rovinarvi la sorpresa inserirò in fondo a questo articolo, nel quale, dopo una breve dimostrazione sull’attrito, ci si pone il seguente problema:

Quali sono le caratteristiche che determinano la velocità con cui si muove un cilindro che rotola, senza strisciare, lungo un piano inclinato a causa unicamente della forza di gravità?

In particolare, se ho due cilindri, quali caratteristiche devo tener presente per poter dire che un cilindro arriverà prima di un altro?

In questo articolo proveremo a dare delle risposte teoriche a questa domanda, per poi confrontarle con le osservazioni fatte nel video al quale ho accennato all’inizio.

Per chi si sta preparando ad un esame di Fisica I, o di Meccanica, potrebbe essere un buon esercizio da risolvere.

Essendo una spiegazione teorica dedicata all’osservazione di un fenomeno, utilizzeremo alcune relazioni caratteristiche del tipo di fenomeni in atto. Tenterò, di volta in volta, di spiegare meticolosamente il significato e l’importanza di ognuno dei termini che compaiono, a beneficio di chi non ha studiato fisica all’università. In ogni caso, al termine di ogni blocco, tenterò di dare una spiegazione complessiva. Quindi se vi trovate in difficoltà e non state capendo cosa accade, oltre a domandare nei commenti o sul forum, se siete in balia della disperazione più profonda, potete saltare i conti e andare direttamente alle spiegazioni finali del blocco.

Cilindri pieni che rotolano

Cominciamo subito tentando di modellizzare il problema, ottenendo una relazione che possa darci informazioni sul quesito che ci siamo posti.

Partiamo dagli ingredienti:

Consideriamo un cilindro di massa M, densità omogenea (ossia uguale in tutti i suoi punti) \rho, raggio R, altezza Z. Supponiamo che questo cilindro venga messo su un piano inclinato che forma un angolo con l’orizzonte pari a \alpha ad un’altezza dal fondo H. Inoltre chiameremo g, come è consuetudine, l’accelerazione di gravità.

Nel contesto dei corpi rigidi, come assumiamo sia il nostro cilindro, si fa spesso uso di una quantità chiamata Momento di Inerzia, che, per dirla in maniera semplice, descrive la geometria dell’oggetto e come la sua massa è distribuita in esso, e che ha un ruolo nelle equazioni dedicate alle rotazioni simile a quello che la massa ha nelle equazioni dedicate ai moti traslatori. Prima di definirlo, però, dobbiamo prendere in considerazione un asse attorno al quale fare i nostri conti.

Se chiamiamo r la distanza di un pezzettino generico di volume dV del corpo in considerazione dall’asse in questione, corpoavente densità qualsiasi \rho in genere dipendente dalla posizione, definiamo Momento di Inerzia la quantità
I = \int_V \rho r^2 dV.

Nel nostro caso, vista la simmetria del cilindro, consideriamo come asse l’asse di simmetria del cilindro. A questo punto \rho la conosciamo già perché l’abbiamo introdotta all’inizio, r è la distanza di un elementino qualsiasi dall’asse del cilindro, e consideriamo come elemento di volume la quantità r dr d\theta dz.

Mettendo, quindi, tutto insieme e facendo un po’ di conti, avremo che il Momento di Inerzia del nostro cilindro è pari a
I=\int_0^R \int_0^{2\pi} \int_0^Z \rho r^3 dr d\theta dz = \rho \frac{R^4}{4} Z 2\pi = \frac{1}{2} M R^2,
avendo ricordato che il volume di un cilindro con le dimensioni date è dato da
V=\pi R^2 Z
e quindi la massa è data da
M = \rho V = \rho \pi R^2 Z.

A questo punto siamo pronti per risolvere il problema, che può essere affrontato in due modi diversi: considerando la conservazione dell’energia oppure tramite considerazione dinamiche, con il computo delle forze e dei momenti delle forze agenti sul cilindro.

Valutazione energetica

Cominciamo da quella più semplice.

Quando il corpo ancora deve incominciare a rotolare, l’unica energia presente è quella potenziale gravitazionale, pari a
U_i = M g H.

Quando il corpo si mette in moto, questa va a ridursi, mentre aumentano l’energia cinetica e l’energia rotazionale, inizialmente nulle perché il cilindro era fermo. Queste due energie, che indicheremo con E_KE_R, sono date dalle relazioni
E_K = \frac{1}{2} M v^2,
E_R = \frac{1}{2} I \omega^2,
dove v e \omega sono, rispettivamente, la velocità lineare ed angolare del cilindro nell’istante in considerazione.

Siccome sappiamo che l’energia totale del corpo si conserva (stiamo trascurando l’attrito dell’aria), possiamo confrontare l’energia che il corpo ha in due momenti diversi, in particolare prima di muoversi ed in un punto generico di altezza h dal fondo, ottenendo la seguente relazione
U_i = U + E_K + E_R \Rightarrow\,
\,\Rightarrow M g H = M g h + \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2 = M g h + \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{4} M R^2 \omega^2 \Rightarrow\,
\, \Rightarrow g H = g h + \frac{1}{2} v^2 + \frac{1}{4} R^2 \omega^2 .

Come vediamo, abbiamo ottenuto un’equazione, dalla quale possiamo esplicitare v, che non presenta alcuna traccia della massa del cilindro o della sua altezza. In realtà si può vedere che la presenza del raggio nell’equazione non da a questo alcun ruolo nella determinazione della velocità. Infatti, ricordadosi il legame che sussiste tra velocità lineare ed angolare
v = R \omega,
possiamo riscrivere l’ultima equazione come
g H = g h + \frac{1}{2} v^2 + \frac{1}{4} v^2 = g h + \frac{3}{4} v^2 ,
nella quale non compare più il raggio del cilindro.

Di conseguenza, facendo rotolare due cilindri pieni di massa qualsiasi, di raggio qualsiasi o di altezza qualsiasi, ci aspettiamo che questi due cilindri arrivino in fondo sempre insieme.

Ma quale sarà la loro accelerazione? È molto semplice dirlo. Vediamo innanzitutto che la velocità di uno dei cilindri, sceso all’altezza h, è
v=\sqrt{\frac{4}{3}g ( H - h )} = \sqrt{ \frac{4}{3} g x \sin{\alpha}},
avendo indicato con x la distanza percorsa fino al momento in cui il cilindro ha velocità v. L’accelerazione è la derivata rispetto al tempo della velocità, quindi
\frac{d v}{d t} = \frac{d v}{d x} \frac{d x}{d t} = \frac{d v}{d x} v = \sqrt{\frac{4}{3} g \sin{\alpha}} \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x}} \sqrt{ \frac{4}{3} g x \sin{\alpha}} = \frac{2}{3} g \sin{\alpha}.

Come si vede, il cilindro si muove con una accelerazione, indipendente dal tempo e dalle quantità che caratterizzano il cilindro stesso, che è legata solo all’accelerazione di gravità ed alla pendenza del piano.

Valutazione Dinamica

Come al solito, le valutazioni basate sul computo delle energie in gioco sono molto semplici ma potrebbe risultare difficile capire cosa sta accandendo. Procediamo, quindi, con la risoluzione dell’esercizio tramite l’utilizzo di forze e momenti di forze.

Innanzi tutto, cos’è un momento di una forza? Data una forza \vec F, il momento di questa forza rispetto ad un punto detto polo è il prodotto vettore tra la forza ed il vettore che congiunge il punto di applicazione della forza con il polo:
\vec{M} = \vec{F} \wedge \vec{r}.

Un esempio, abbastanza classico, per mezzo del quale si può avere un’idea di cosa sia il momento di una forza è il seguente:
considerate una porta. Come spingete per aprirla o chiuderla? Spingete o tirate lungo il profilo della porta? Certamente no, altrimenti la porta non si muoverebbe, a meno di non rompere i cardini. La spingete o tirate lungo una direzione diversa, cioè, detto in altri termini, in modo tale che una componente della forza che state applicando sia ortogonale alla direzione che congiunge la maniglia ai cardini. Perché? Secondo l’equazione che abbiamo scritto sopra, se la forza ed il vettore che congiunge il punto di applicazione con il polo (che in questo possiamo porre lungo l’asse dei cardini) sono tra loro parallele, il momento della forza è nullo. Al contrario, se esiste una compomente ortogonale al vettore \vec{r}, il momento della forza non sarà nullo. Vedremo più avanti che i momenti delle forze sono legati alle rotazioni e quindi, se il momento del nostro esempio non è nullo la porta si muoverà.

Così come le forze sono accompagnate, in genere, da una variazione della quantità di moto dell’oggetto sulle quali sono applicate, i momenti delle forze inducono una variazione del momento angolare, quantità definita come
 \vec{L} = \vec{p} \wedge \vec{r},
dove si è indicato con \vec{p} la quantità di moto dell’oggetto in questione e con \vec{r}, come prima, la distanza del punto di applicazione del momento da un asse. Sfruttando il concetto di momento di inerzia e di velocità angolare, il modulo del momento angolare si può anche scrivere come
|\vec{L}| = L = I \omega.

Altro ingrediente fondamentale di quanto segue sono le cosiddette Equazioni Cardinali. Queste ci danno informazioni su come deve muoversi un corpo rigito soggetto a forze:
\vec{F}_{ext} = \frac{d \vec{p}_c}{d t} = M \frac{ d \vec{v}_c}{d t} = m \vec{a}_c,
\vec{M}_{ext} = \frac{d \vec{L}}{d t} = I \frac{d \vec{\omega}}{d t},
dove il pedice ext sta ad indicare le sole forze ed i soli momenti delle forze esterne, dove \vec{p}_c \vec{a}_c e \vec{v}_c sono la quantità di moto, l’accelerazione e la velocità lineare del centro di massa e dove la direzione del vettore \vec{\omega} è quella ortogonale al piano di rotazione ed il verso è quello dal quale si vede l’oggetto ruotare in senso antiorario, ossia, direzione e verso seguono la famosa “Regola della Mano Destra“. Inoltre si è sfruttato il concetto di corpo rigido, ossia di corpo che non subisce deformazioni e per il quale, quindi, il momento di inerzia rimane invariato.

Possiamo quindi inziare a guardare al nostro sistema sfruttando questi strumenti.

Quali sono le forze esterne che agiscono sul cilindro? Ovviamente la forza di gravità e la forza di attrito sul piano. Quest’ultima non sappiamo quanto valga, perché non conosciamo il coefficiente di attrito statico, ma sappiamo che deve essere sufficientemente elevata da non permettere al cilindro di strisciare. Quindi scriviamole:
\vec{A} + \vec{G} + \vec{N} = M \vec{a}_c,
\vec{M}_A = \vec{A} \wedge \vec{R} = I \frac{d \vec{\omega}}{d t},
dove ho indicato con \vec{A} la forza d’attrito, con \vec{N} la reazione normale al piano e con \vec{M}_A il momento di questa forza. Per ottenere l’ultima relazione ho considerato come asse l’asse del cilindro. Così facendo non compare il contributo della forza di gravità, che agisce sul centro di massa e per la quale, quindi, la distanza dall’asse è nulla. Si sarebbe potuto prendere in considerazione anche un altro asse, come, ad esempio, quello corrispondente ai punti d’appoggio del cilindro sul piano. Il risultato sarebbe stato simile ma con qualche complicazione, visto che avremmo dovuto riportarci in qualche modo a questo asse tramite il teorema di Heygens-Steiner, che non approfondirò qui.

A questo punto, notiamo che della prima equazione ci interessa la componente lungo il piano, perché vogliamo sapere come si muove il cilindro scendendo, mentre nella seconda notiamo che, essendo la tangente ad una circonferenza sempre ortogonale al suo raggio, il modulo del momento della forza d’attrito si riduce al semplice prodotto del modulo della forza d’attrito, che non conosciamo, per la distanza dall’asse, ovvero il raggio del cilindro. Riscriviamo, quindi, la componente della prima equazione lungo il piano ed il modulo del momento dell’attrito nella seconda:
 G\sin{\alpha} - A = Mg\sin{\alpha} - A = M a_c,
|\vec{M}_A| = M_A = AR = I \dot{\omega} \Rightarrow A = \frac{I}{R} \dot{\omega},
dove ho indicato con il punto la derivata rispetto al tempo. È da notare che, data la scelta dei segni nella prima equazione, è chiaro che ottenere un’accelerazione positiva indica un’accelerazione nello stesso verso di G e, quindi, verso il basso.

A questo punto, sostituiamo l’intensità della forza d’attrito, ricavata nell’ultima equazione, nell”equazione delle forze, e da questa otteniamo l’accelerazione del centro di massa, che sarà
a_c = g \sin{\alpha} -\frac{I}{R M} \dot{\omega}= g \sin{\alpha} - \frac{R}{2} \dot{\omega}.
Sappiamo, inoltre, che esiste una relazione tra l’accelerazione lineare di un corpo che rotola e la sua accelerazione angolare, indicata qui con \dot{\omega}, e questa relazione è
R \dot{\omega} = a_c.
Inserendo questa relazione nell’ultima equazione otteniamo
a_c = g\sin{\alpha} - \frac{1}{2}a_c \Rightarrow a_c = \frac{2}{3} g\sin{\alpha}.

Anche in questo caso, quindi, come nel caso precedente, si ottiene che il moto del cilindro non è determinano dalla sua massa o dalle sue dimensioni, ma solo dalla pendenza del piano. Notiamo, come avevo anticipato, che questi due metodi (quello energetico e quello dinamico) conducono allo stesso risultato. La scelta del metodo si basa, quindi, solo su questioni di migliori opportunità, di dati più adatti e di eventuale maggiore semplicità.

 

Per il momento interrompo qui, perché già ho scritto troppo. Nel prossimo articolo prenderò in considerazione il caso di un cilindro cavo e confronterò i risultati che otterrò in quest’ultimo caso con quelli ottenuti qui. Però, senza neanche fare calcoli possiamo dire già qualcosa. Ad esempio, visto l’importante ruolo del momento di inerzia, possiamo aspettarci che una geometria diversa abbia effetti considerevoli sulla dinamica del cilindro. E questo cosa vorrà dire? Sarà sufficiente a far muovere il cilindro cavo a velocità diverse rispetto al cilindro pieno o arriveranno in fondo allo stesso tempo? Se saranno diverse, chi arriverà primo, quello cavo o quello pieno?

Ovviamente, con il prossimo articolo mostrerò anche il video di cui accennavo all’inizio, e che non mostro qui per darvi la possibilità di pensare un pochino a questo problema.

Scrivete le vostre soluzioni, i vostri dubbi e le vostre domande nei commenti qui sotto o sul forum, vi risponderò appena ne avrò occasione!

 
About the author

Pasquale

Triennale in Fisica alla Federico II di Napoli e Magistrale in Astronomia ed Astrofisica a La Sapienza di Roma, ora mi ritrovo in Canada, alla University of Lethbridge, come studente di dottorato in Fisica Teorica. Il mio lavoro di ricerca al momento concerne un'estensione del principio di indeterminazione di Heisenberg, suggerita da diverse teorie di Gravità Quantistica, e l'applicazione di questa estensione a diversi sistemi quantistici, alla ricerca di nuovi fenomeni che possano essere osservati e che possano quindi permettere di fare valutazioni sulla modifica stessa e sulle teorie di di Gravità Quantistica.

Readers Comments (2)

  1. Anche se dovessi considerare una gara tra una sfera, un cilindro cavo e uno pieno, otterrei che m e r non influiscono su v e pertanto la sfera arriva sempre prima? Giusto?

     
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