Cilindri che rotolano: chi arriverà primo? – Parte 2

In questo articolo avevamo posto il seguente problema:

Quali sono le caratteristiche che determinano la velocità con cui si muove un cilindro che rotola, senza strisciare, lungo un piano inclinato a causa unicamente della forza di gravità?

In particolare, se ho due cilindri, quali caratteristiche devo tener presente per poter dire che un cilindro arriverà prima di un altro?

Abbiamo già parlato del caso di cilindri omogenei e pieni, ed abbiamo visto che le loro velocità ed accelerazione non dipendono dalle caratteristiche del cilindro (densità, raggio, lunghezza), ma solo dalla pendenza del piano inclinato e dal campo gravitazionale.

Ora concludiamo chiedendoci cosa accade nel caso in cui i cilindri non siano pieni.

In questo caso, consideriamo una classe di cilindri molto simili a quelli dell’articolo precedente, con l’unica differenza che siano cavi, ossia che la distribuzione di massa abbia un raggio minimo, che indicheremo con R_1, ed un raggio massimo R_2. Avete presente un rotolo di carta igienica? Stiamo praticamente parlando di un oggetto del genere.

È pur sempre un cilindro…

Come nel caso precedente, il primo passo da affrontare è quello del calcolo del momento di inerzia, che ricordiamo formalizzare la geometria della distribuzione di massa e che è definito dalla relazione:
I = \int_V \rho r^2 dV.

Nel nostro caso, quindi, abbiamo:
I=\int_{R_1}^{R_2} \int_0^{2\pi} \int_0^Z \rho r^3 dr d\theta dz = \rho \frac{R_2^4 - R_1^4}{4} Z 2\pi = \frac{1}{2} M (R_2^2 + R_1^2),
dove ci siamo ricordati che la massa del tipo di cilindro considerato è data da
M = \pi Z \rho ( R_2^2 - R_1^2).

Guardando queste ultime relazioni, e confrontandole con quelle analoghe nel caso dei cilindri pieni analizzato nel precedente articolo, salta subito all’occhio la presenza di un termine in più, quello relativo al raggio interno del cilindro. Sarà, infatti, questa caratteristica a rendere diversa la dinamica dei due tipi di cilindro.

Valutazione energetica

Così come nel caso precedente, affrontiamo il problema da un punto di vista energetico. Nel seguito non scriverò del punto di vista dinamico, visto che i risultati saranno equivalenti a questa valutazione.

Ricordiamo quali sono le energie in gioco:
L’energia cinetica E_K = \frac{1}{2} M v^2;
L’energia rotazionale E_R = \frac{1}{2} I \omega^2;
L’energia potenziale gravitazionale U(h) = M g h.

I simboli usati sono già stati descritti nel precedente articolo e hanno l’usuale significato. Un po’ di attenzione, però, vorrei porre nei confronti dell’energia potenziale: l’ho definita come una funzione di h, ossia dell’altezza rispetto al fondo del piano inclinato, perché la considereremo in due punti con due valori diversi dell’altezza, ossia all’altezza H, quando lasceremo rotolare il cilindro (in questo caso, siccome il cilindro parte da fermo, le altre energie sono nulle), ed ad una altezza generica.

La conservazione dell’energia, a questo punto, ci permette di scrivere la seguente catena di relazioni:
U(H) = U(h) + E_K + E_R
M g H = M g h + \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2 = M g h + \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{4} M (R_2^2 + R_1^2) \omega^2
g H = g h + \frac{1}{2} v^2 + \frac{1}{4} (R_2^2 + R_1^2) \omega^2.
Vediamo, quindi, che, come nel caso del cilindro pieno, la velocità con cui scende il cilindro cavo non dipende dalla sua massa o dalla sua lunghezza.

Ricordando che stiamo considerando un cilindro che rotola senza strisciare, proprietà che si traduce con l’uguaglianza tra la velocità del bordo esterno del cilindro e la velocità con cui si muove il cilindro intero lungo il piano, possiamo ricavare una relazione tra quest’ultima velocità e la velocità angolare, così come già fatto nel caso precedente
v = R_2 \omega.
Inserendola nell’equazione che abbiamo ricavato dalla conservazione dell’energia, otteniamo
g H = g h + \frac{1}{2} v^2 + \frac{1}{4} \frac{(R_2^2 + R_1^2)}{R_2^2} v^2 = g h + \frac{v^2}{4} ( 3 + \frac{R_1^2}{R_2^2}) = g h + \frac{v^2}{4} \beta ,
dove abbiamo definito la quantità \beta = 3 + \frac{R_1^2}{R_2^2} per rendere la relazione più compatta e per darci la possibilità di concentrarci su un unico oggetto nel momento in cui andremo a fare confronti con il caso di cilindro pieno. Con questa definizione, notiamo che, nel caso di cilindro pieno, \beta sarà uguale a 3 (confrontate le relazione del precedente articolo per notare la presenza di questo fattore), nel caso di cilindro cavo, invece, \beta sarà sempre maggiore di questo valore a causa del rapporto tra i quadrati dei raggi interno ed esterno.

Abbiamo così ottenuto una relazione che, a differenza del caso precedente, dipende anche dai raggi interno ed esterno del cilindro che stiamo considerando. Inoltre, siccome il fattore \beta per un cilindro cavo sarà sempre maggiore di quello per un cilindro pieno, otterremo anche che la velocità sarà sempre minore per un cilindro cavo. Per conferma, ricaviamo esplicitamente la velocità
v = 2 \sqrt{g (H - h) / \beta}.

Già da questa dimostrazione, quindi, possiamo conclude che in una competizione tra un cilindro cavo ed uno pieno, il primo arriverà sempre secondo. Ma vogliamo spingerci oltre e, come nel caso precedente, vogliamo calcolare l’accelerazione del cilindro.

Innanzitutto scriviamo il dislivello lungo il quale il cilindro si è messo in funzione della lunghezza percorsa lungo il piano inclinato e rispetto alla pendenza di questo
H - h = x \sin\alpha.
A questo punto possiamo calcolare l’accelerazione come la derivata della velocità del cilindro
\frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt} = \,
\, = 2 \sqrt{\frac{g}{\beta}} \frac{1}{2} \frac{\sin\alpha}{\sqrt{x \sin\alpha}} 2 \sqrt{\frac{g}{\beta} x \sin\alpha} = \,
\, = \frac{2}{\beta} g \sin\alpha.
Quindi anche l’accelerazione è inferiore nel caso del cilindro cavo. Non c’è da stupirsi, visto che se fosse stata maggiore, prima o poi il cilindro cavo avrebbe acquisito più velocità del cilindro pieno, contraddicendo quanto abbiamo trovato poco più su. Inoltre ancora una volta possiamo notare che se \beta è uguale a 3, otteniamo gli stessi valori ricavati per il caso del cilindro pieno. Non stupisce neanche questo, visto che \beta=3 vuol dire R_1 = 0, ossia cilindro pieno.

Prova sperimentale

Con buona pace di quelle categorie di persone che si ostinano, in tutti i campi culturali, dalla politica alle (pseudo)scienze, ad insistere su argomenti senza portare alcuna prova, la fisica, per sua natura, ha estremo bisogno delle prove sperimentali. Vi propongo, quindi, il video al quale avevo accennato all’inizio del precedente articolo.

Il protagonista è Walter Lewin, professore emerito all’MIT, che ci illustra, dopo una breve dimostrazione sull’attrito, quanto ho tentato di spiegarvi in questi due articoli. Nel video, in inglese, non è presente alcuna spiegazione formale (si fa giusto un accenno a quale sia la fisica da utilizzare per spiegare questo fenomeno) ma, come potrete vedere, ritroviamo, in forma qualitativa, ciò che qui abbiamo ricavato.

Spero che questi due articoli ed il video siano chiari. Per qualunque problema o dubbio, scrivete nei commenti oppure sul forum.

Buona visione!

 
About the author

Pasquale

Triennale in Fisica alla Federico II di Napoli e Magistrale in Astronomia ed Astrofisica a La Sapienza di Roma, ora mi ritrovo in Canada, alla University of Lethbridge, come studente di dottorato in Fisica Teorica. Il mio lavoro di ricerca al momento concerne un'estensione del principio di indeterminazione di Heisenberg, suggerita da diverse teorie di Gravità Quantistica, e l'applicazione di questa estensione a diversi sistemi quantistici, alla ricerca di nuovi fenomeni che possano essere osservati e che possano quindi permettere di fare valutazioni sulla modifica stessa e sulle teorie di di Gravità Quantistica.

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