Centro di massa

Per ogni sistema di punti materiali o particelle, si può definire un punto geometrico detto centro di massa.
Consideriamo due particelle di masse m_1 e m_2 su una retta rispettivamente nei punti x_1 e x_2. L’ascissa del centro di massa del sistema formato dalle due particelle è:

x_\mathrm{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}~.

In sostanza, la coordinata del centro di massa corrisponde alla media pesata delle coordinate dei singoli punti, dove come pesi consideriamo le masse dei due punti materiali. Questa nozione è ovviamente estendibile a qualunque dimensione. Ci aspettiamo, infatti, che anche le coordinate y_\mathrm{cm} e z_\mathrm{cm} del centro di massa nel caso tridimensionale siano date da relazioni simili. Per una notazione più compatta, facciamo uso dei vettori

\vec{r}_\mathrm{cm} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2 \vec{r}_2}{m_1 + m_2}~,

dove \vec{r}_1 = (x_1, y_1, z_1).

Possiamo estendere questa definizione ad un sistema composto da un numero arbitrario N di particelle

\vec{r}_\mathrm{cm} = \frac{\sum_{i=1}^N m_1 \vec{r}_1}{M}~,

dove m_i e \vec{r_i} corrispondono alla massa e alla posizione della i-esima particelle ed M=\sum_{i=1}^N m_i è la massa totale del sistema. Nel caso di un sistema continuo di densità \rho(\vec{r}), sostituiamo le somme con integrali ottenendo

\vec{r}_{cm} = \frac{\int_{V}^{}\vec{r} \rho(\vec{r}) \mathrm{d}V}{M}~,

dove con V abbiamo indicato il volume occupato dal corpo.

Centro di massa di un sistema isolato

centro di mass

Immaginiamo che il corpo rigido in figura abbia un moto di traslazione e rotazione su un tavolo piano e con attrito trascurabile. La forza totale agente sulla chiave inglese è quindi uguale a zero perché la sua forza-peso è equilibrata dalla reazione vincolare del tavolo. La chiave inglese percorre un movimento complesso, ma il suo centro di massa, che coincide col suo baricentro, si muove di moto rettilineo uniforme.
Quindi: il centro di massa di un sistema fisico isolato si muove sempre di moto rettilineo uniforme.

Centro di massa di un sistema non isolato

centrodimassa

Nel caso di un sistema non isolato, la trattazione è differente: infatti il centro di massa si muove come un punto materiale che è soggetto alla forza esterna a cui è sottoposto tutto il sistema.

Immaginiamo stavolta un tuffatore che si lancia da un trampolino. La traiettoria che percorre il tuffatore è molto complessa, invece il suo centro di massa percorre una traiettoria parabolica. Inoltre notiamo che a volte il centro di massa può trovarsi anche fuori dal tuffatore; questo perché il centro di massa è un punto geometrico e non deve per forza coincidere con uno dei punti fisici del sistema.

 

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