I Gemelli e la Teoria della Relatività

I Gemelli

Due … Gemelli del cinema! (fonte: Wikipedia)

In molti avranno sentito parlare del paradosso dei gemelli come uno dei più grandi problemi della relatività. Le voci su questo paradosso hanno accresciuto le sue dimensioni portandolo al livello di un problema insormontabile, punto oscuro della relatività. Ho sentito addirittura qualcuno dire che questo problema renda la relatività sbagliata e per questo doveva essere cambiata… che pessimisti!

Quanto segue lo potete anche trovare in questa pagina.

Un po’ di storia.

Uno dei supporter di questo paradosso è stato un filosofo inglese, Herbert Dingle. A questo signore rispose lo stesso Einstein, sostenuto da Bohr, che tentarono di spiegare qual era l’errore basilare in questo paradosso e come poteva essere risolto. Dingle, non contento, continuò a pressarli ritenendo non sufficienti le risposte sul paradosso e i giornali, inizialmente interessati a questa diatriba, presto si stancarono smettendo di pubblicare questi battibecchi, suscitando le ire di Dingle che addirittura parlò di comploto ai suoi danni.

In cosa consiste il Paradosso dei Gemelli?

Questo paradosso vede come protagonisti due gemelli, appunto, dei quali uno è riuscito a diventare astronauta e viene imbarcato su una navicella in grado di arrivare a velocità prossime a quelle della luce (per semplicità prendiamo un numero netto che ci semplifica i calcoli, v=0.8c) diretta verso un sistema stellare lontano 8 l.y. (l.y.=light year=anno luce). In molti credono che il paradosso consista nel fatto che la relatività preveda che, al ritorno del gemello astronauta, siccome per lui sarà passato meno tempo, questo sarà più giovane di quello rimasto a terra. Se così fosse non ci sarebbe nessun paradosso perché è esattamente ciò che accade. Il fraintendimento nasce dalla poco intuitiva caratteristica del rallentamento degli orologi che si muovono rispetto a noi, ma non per questioni meccaniche, ma per questioni squisitamente fisiche, legate alla struttura dello spazio e del tempo, mentre chi ha poca familiarità con questi argomenti ha ancora una cognizione di tempo di tipo newtoniano, immutabile e che scorre allo stesso modo per tutti, indipendentemente da come si muovano.

Il paradosso, invece, pone un’altra domanda: dicevo che la relatività introduce la caratteristica della dilatazione temporale, quindi dalla terra, il gemello “vedrà” gli orologi dell’astronave muoversi più lentamente di quelli a terra, e viceversa, il gemello sull’astronave “vedrà” gli orologi a terra muoversi più lentamente. Guardiamo il primo caso: se è vero che gli orologi dell’astronave si muovono più lentamente di quelli a terra, tra i due gemelli, quello nell’astronave invecchierà più lentamente, quindi al suo ritorno risulterà più giovane di quello a terra. Al contrario, nel secondo caso, sono gli orologi a terra a muoversi più lentamente, e quindi sarà il gemello a terra a invecchiare più lentamente, risultando più giovane dell’astronauta al ritorno di quest’ultimo.
Dov’è la verità? Sarà più vecchio il gemello a terra o quello che ha viaggiato?

Soluzione.

Tenterò di risolvere il problema dal punto di vista della relatività ristretta.
La chiave per risolvere il problema sta nel capire l’errore di fondo: la relatività ristretta considera sistemi inerziali (per la definizione di sistemi inerziali meglio darci appuntamento in un altro articolo) e quello dell’astronave non lo è affatto. Infatti prima accelera per partire, poi si muove ad una velocità costante pari a 0.8 volte la velocità della luce, poi frena quando arriva sull’obiettivo, inverte la direzione, accelera di nuovo e, arrivato a casa, rallenta fino a fermarsi. Gli effetti dovuti alle accelerazioni dovranno essere considerati, quindi, in una teoria che non sia la relatività ristretta. In questo caso ci aiuta la relatività generale, che comprende, appunto, fenomeni dovuti alla non inerzialità dei sistemi di riferimento e alla gravitazione (questi due aspetti, in questa teoria, sono in qualche modo collegati). L’effetto netto delle accelerazioni dell’astronave, all’interno della teoria della relatività generale, è quello di creare un rallentamento degli orologi, ma non andrò a spiegare nei dettagli perché (vi basti sapere che un’accelerazione è trattabile come se fosse l’effetto di un campo gravitazionale e questo genera una dilatazione dei tempi).
Nel tentativo di rendere la trattazione più semplice, per quanto possibile, eviteremo l’uso della relatività generale a favore della più semplice teoria ristretta. Faremo questo assumendo che le accelerazioni e le decelerazioni saranno istantanee. È ovvio che questa trattazione potrà fornirci solo valori approssimati per la soluzione al problema, ma, quanto meno, sarà in grado di spiegarci cosa accade in maniera qualitativa.

Gli effetti che andremo a considerare sono la dilatazione temporale e la contrazione delle lunghezze. Non spiegherò in dettaglio perché questi effetti siano reali, magari lo farò un’altra volta, ma dovete sapere che sono dirette conseguenze dei postulati della relatività ristretta, cioè di quel numero di fatti, ritenuti veri ma non dimostrati (anche se concordanti con la realtà), sui quali si fonda la teoria, una sorta di regole del gioco, cose che vanno accettate e grazie alle quali si può andare avanti (per i maliziosi, il fatto che non siano dimostrabili matematicamente non vuoi dire che non siano falsificabili, visto che è sempre possibile eseguire esperimenti diretti o indiretti sulle conseguenze dei postulati o sui postulati stessi, e se così non fosse non stiamo parlando di fisica).

Innanzi tutto mettiamo su un po’ di definizioni, così da snellirci la notazione.
Definiamo:
\beta=\frac{v}{c}
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}
Nel nostro caso, quindi, abbiamo:
v=0.8c
\beta=0.8
\gamma=\frac{1}{0.6}\simeq1.667

Ora, supponiamo di prendere una bacchetta lunga l e mettiamola su un razzo in modo che la sua lunghezza sia nella direzione di moto del razzo, che partirà da noi e si muoverà in linea retta. Se potessimo misurare la lunghezza della bacchetta mentre si sta muovendo, troveremo che la sua lunghezza è pari a:
l'=\frac{l}{\gamma}

Ora, invece, supponiamo che sullo stesso razzo ci sia un orologio e ci chiediamo in quanto tempo questo orologio coprirà un tempo t (no, non è una domanda strata, normalmente diremmo che l’orologio segnerà un tempo t in un tempo t, ma in relatività le cose sono un po’ differenti). L’orologio segnerà un tempo t quando per noi sarà passato un tempo t' pari a:
t'=\gamma t

Ora arriviamo ad un punto fondamentale della dimostrazione, che ci permette di capire anche quel è l’errore del paradosso, oltre a dimenticare le fasi di accelerazione e decelerazione. Dovremo considerare tutta la faccenda rispetto a tre punti di vista:

  1. Rispetto al gemello rimasto a terra;
  2. Rispetto al gemello sull’astronave mentre si allontana da casa;
  3. Rispetto al gemello sull’astronave mentre ritorna a casa.

Vediamo il primo caso:

l’astronauta, per andare e tornare, impiegherà un tempo pari a:
\Delta t'=\frac{\Delta x'}{v}=20 \mathrm{anni}
avendo indicato con \Delta x' la distanza, vista da terra, coperta in andata e ritorno dall’astronave, cioè \Delta x'=16\mathrm{ly}, e dove quel ' sta ad indicare il fatto che noi stiamo considerando il tempo trascorso sull’astronave come vista da terra, non come visto dall’astronave.
Quanto tempo sarà passato sull’astronave? Per saperlo dobbiamo prendere la formula che abbiamo introdotto prima e rigirarla, perché noi conosciamo già t', il tempo a terra, ora vogliamo conoscere quello sull’astronave guardandolo da terra, cioè t:
\Delta t=\frac{\Delta t'}{\gamma}=12 \mathrm{anni}

Ora vediamo il secondo caso, valido solo per la prima metà del viaggio:

io mi trovo sull’astronave e viaggio ad una velocità di 0.8 volte la velocità della luce. Per me la distanza che dovrò coprire non è 8ly ma, a causa della contrazione spaziale:
\Delta x=\frac{\Delta x'}{\gamma}=4.8\mathrm{ly}
che coprirò in:
\Delta t=\frac{\Delta x}{v}=6 \mathrm{anni}

Ultimo caso, valido solo per la seconda metà:

ripetendo gli stessi calcoli fatti per il secondo caso, ottengo di nuovo che per tornare a casa dovrò impiegare 6 anni.

Quindi, come vedete non c’è paradosso: è vero che, al ricongiungimento dei due gemelli, per quello a terra saranno passati 20 anni, ma entrambi saranno d’accordo che per l’astronauta saranno passati solo 12 anni e quindi sarà invecchiato di meno del gemello rimasto a terra.

 
About the author

Pasquale

Triennale in Fisica alla Federico II di Napoli e Magistrale in Astronomia ed Astrofisica a La Sapienza di Roma, ora mi ritrovo in Canada, alla University of Lethbridge, come studente di dottorato in Fisica Teorica. Il mio lavoro di ricerca al momento concerne un'estensione del principio di indeterminazione di Heisenberg, suggerita da diverse teorie di Gravità Quantistica, e l'applicazione di questa estensione a diversi sistemi quantistici, alla ricerca di nuovi fenomeni che possano essere osservati e che possano quindi permettere di fare valutazioni sulla modifica stessa e sulle teorie di di Gravità Quantistica.

Readers Comments (2)

  1. Ciao !! Ho fatto un po’ di ricerche online perché proprio non riesco a capire a come far conciliare la dilatazione temporale gravitazionale con il paradosso dei gemelli.
    La dilatazione temporale gravitazionale dice che se un corpo ha un potenziale gravitazionale basso, allora il tempo sarà molto più lento (per esempio, in pianura il tempo scorre in maniera leggermente più lenta che in montagna).
    Il paradosso dei gemelli dice che il corpo con maggiore accelerazione (che se non ho capito male può essere assimilabile a un campo gravitazionale), avrà un tempo più lento. E qui non riesco a capire: una maggiore accelerazione/gravitazione, rende il tempo più veloce o più lento? Infatti, con il discorso della dilatazione temporale gravitazionale, una maggiore gravitazione sembrerebbe rendere il tempo più veloce; nel paradosso dei gemelli, invece, una maggiore accelerazione comporta un tempo più lento.

    Non so se sono stato chiaro nella domanda… Essendo un profano della materia e incuriosendomi per conto mio, faccio confusione.
    Grazie per l’attenzione!!

     
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    • Ciao Jo,
      capisco la tua confusione, ma nota che stai confrontando due quantità correlate ma differenti:
      in un primo momento parli di potenziale gravitazionale, nel secondo caso parli di accelerazioni e di forze.
      La maniera più corretta per presentare il paradosso è quello delle forze, perché una forza gravitazionale maggiore è il risultato di una distorsione maggiore dello spazio-tempo ed è quest’ultima a causare il paradosso.
      In generale, una forza conservativa ed il suo potenziale non vanno di pari passo. Per la forza gravitazionale newtoniana generata da una massa puntiforme le cose funzionano abbastanza bene a causa della dipendenza dalla distanza dal punto, ma se per esempio consideri il caso di un campo gravitazionale uniforme, come è approssimativamente quello sulla superficie terrestre, la forza è la stessa in ogni punto ma il potenziale gravitazionale varia con l’altezza.

      Riassumendo, il paradosso va letto in chiave di forze: quando la forza di gravità è maggiore o se l’accelerazione è maggiore, il tempo scorre più lentamente se misurato da un osservatore in un campo più debole. Viceversa, lì dove il campo o le accelerazioni sono deboli, il tempo scorre più velocemente se misurato da un osservatore in campo forte (hai visto il film Interstellar?)

      Nota che nell’articolo che hai commentato, non si fa cenno alle accelerazioni. Questo perché il risultato è solo approssimativo, volevo usare solo la relatività ristretta. Nel caso tu volessi considerare anche le accelerazioni, dovresti usare la relatività generale ed a quel punto di troveresti che per ogni accelerazione il tempo rallenta ulteriormente, quindi il gemello astronauta risulterebbe ancora più giovane di quanto calcolato.

       
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