Cubetti di ghiaccio ed Iceberg

Quanto scriverò in questo articolo nasce da un esercizio che mi fu proposto un paio di anni fa da un amico che si stava preparando per un test di fisica e del quale mi sono ritrovato a discuterne proprio oggi. Il problema è il seguente: avendo un cubetto di ghiaccio in un bicchiere d’acqua, il primo galleggia a causa della spinta di Archimede. Cosa accadrà al livello dell’acqua nel bicchiere quando il cubetto si sarà sciolto? Si sarà alzato, si sarà abbassato o rimarrà lo stesso?

Prima di continuare a leggere il resto di questo articolo, nel quale proverò a dare ed a giustificare la risposta, pensateci e provate a rispondere voi stessi. Non avete nulla da perdere nel caso abbiate sbagliato, ma vincerete un bel senso d’orgoglio nel caso indoviniante, quindi fermatevi 5 minuti e pensateci.

 

Ci avete pensato? Bene, procediamo con un po’ di fisica

Un po’ di teoria

Innanzi tutto, proviamo a caratterizzare meglio il problema: immaginiamo di avere un bicchiere cilindrico, di base qualsiasi di area A e nel quale è stata versata dell’acqua. Immergiamoci dentro un pezzo di ghiaccio, anche questo cilindro di base qualsiasi di area a e di altezza l. Diciamo che, con il ghiaccio, il livello dell’acqua abbia raggiunto un’altezza L. Indichiamo con \rho_a e \rho_g le densità dell’acqua e del ghiaccio, rispettivamente. Per la soluzione non ci interessano i loro valori numerici, come vedremo.

Ora passiamo ad analizzare le forze in gioco.

Da una parte abbiamo la spinta di Archimede, pari al peso del volume d’acqua occupato dal pezzo di ghiaccio, dall’altra abbiamo la forza peso del ghiaccio stesso. Perché il ghiaccio possa galleggiare, queste due forze devono bilanciarsi.

Indicando con x l’altezza della porzione di ghiaccio rimarsa fuori dall’acqua, abbiamo
(l-x)a\rho_a=la\rho_g.

Da questa equazione possiamo ricavarci l’altezza x
x = l \frac{\rho_a - \rho_g}{\rho_a} = l \left(1 - \frac{\rho_g}{\rho_a}\right).

A questo punto, poniamoci una domanda un po’ diversa: di quanto aumenta il livello dell’acqua nel momento in cui immergiamo il pezzo di ghiaccio? Chiamando h_i questa variazione, questa quantità sarà pari all’altezza del cilindro di base uguale a quella del bicchiere ma di volume uguale a quello della porzione immersa del pezzo di ghiaccio, ossia
h_i = (l-x)\frac{a}{A}.

Di quanto aumenta, invece, il livello dell’acqua se invece di immergere il pezzo di ghiaccio semplicemente lo versiamo già sciolto? Indicando h_f la variazione per questo caso, dovremo prima trovare la massa del pezzo di ghiaccio e ricavare il relativo volume nel caso quella massa fosse acqua, ovvero
h_f = l \frac{a}{A} \frac{\rho_g}{\rho_a}.

L’eventuale differenza tra queste due quantità rappresenta di quanto si è alzato (o abbassato) il livello dell’acqua nel bicchiere. Quindi calcoliamola, utilizzando l’espressione per x che abbiamo trovato in precedenza
h_f - h_i = l \frac{a}{A} \frac{\rho_g}{\rho_a} - (l-x)\frac{a}{A} = l \frac{a}{A} \frac{\rho_g}{\rho_a} - l \left(1-1 + \frac{\rho_g}{\rho_a}\right)\frac{a}{A} = 0.

Abbiamo quindi dimostrato che il livello dell’acqua non cambia quando il pezzo di ghiaccio si scioglie. A dispetto di come abbiamo definito il problema, con un bicchiere ed un pezzo di ghiaccio cilindrico, il risultato è del tutto generale. Infatti potremmo definire un “cilindro effettivo”, ossia un cilindro di uguale volume del pezzo di ghiaccio in esame, ma con un’area di base a scelta ed un’altezza tale che il volume sia quello reale.

Altrimenti, potremmo seguire questo ragionamento:
per ogni volume che il ghiaccio occupa al posto dell’acqua, il peso dello stesso volume d’acqua è lo stesso, a causa della spinta di Archimede, del peso del volume di ghiaccio e di una parte del ghiaccio emerso. Questo vale per ogni volume di ghiaccio che consideriamo eanche, quindi, per l’intero pezzo di ghiaccio.
Quando il ghiaccio si sarà sciolto, diventando acqua, prenderà esattamente il posto del volume d’acqua che appare nella spinta di Archimede, ossia il volume occupato dalla porzione di ghiaccio immerso. Di conseguenza nessuna porzione del ghiaccio sciolto andrà a contribuire ad un aumento di livello del liquido.

Ed ora l’esperimento con il ghiaccio

Visto che la fisica non è solo teoria e calcoli, ma c’è bisogno di qualche prova che la Natura si comporti proprio così, va fatto qualche esperimento. In questo caso, fortunatamente, non abbiamo bisogno di grossi acceleratori di particelle o di far viaggiare le nostre apparecchiature per migliaia e migliaia di chilometri. Nel nostro caso ci serve solo un recipiente, preferibilmente graduato, nel quale verseremo dell’acqua ed un po’ di ghiaccio.

Ecco il mio recipiente graduato

Ecco il mio recipiente graduato

In questo recipiente, ho aggiunto tre cubetti di ghiaccio, delle dimensioni approssimative di (1.25\times1.25\times1)\mathrm{in}^3 \simeq 25.6 \mathrm{cm}^3 = 25.6 \mathrm{ml} (in sta per inch, pollice, un’unità di misura per le lunghezza del sistema imperiale… da questo lato del mondo si usano queste unità e non sono riuscito a trovare di meglio in casa). Siccome ogni tacca della colonna di sinistra del mio recipiente indica 10ml, questo vorrà dire che ho una sensibilità di circa 5ml, ovverò più o meno di un quinto del volume di ciascun cubetto, ossia di circa il 6% del volume del ghiaccio dell’esperimento. Questo vuol dire che se più del 6% del volume del ghiaccio andrà a contribuire ad un aumento di volume dell’acqua, e quindi del livello nel recipiente, io potrò essere in grado di osservarlo, altrimenti il mio risultato è provato entro tale sensibilità.

Aggiunta del ghiaccio

Aggiunta del ghiaccio

Come si può vedere dall’immagine, il livello dell’acqua con il ghiaccio è di  200\pm5\mathrm{ml}.

L'esperimento 20min dopo l'immersione del ghiaccio

L’esperimento 20min dopo l’immersione del ghiaccio

Questa la situazione 20 min dopo l’aggiunta del ghiaccio. Non si nota nessuna variazione.

Apparato sperimentale a a 40 min dall'aggiunta del ghiaccio

Apparato sperimentale a a 40 min dall’aggiunta del ghiaccio

Altri 20 min, per un totale di 40 min dopo l’aggiunta del ghiaccio nell’acqua. Anche in questo caso non si nota nessuna variazione del livello dell’acqua. Possiamo quindi dire che il risultato ricavato in questa pagina è stato verificato a meno di una variazione di 5 ml, ovvero, ricordo, del 6% del volume del ghiaccio.

Per migliorare l’esperimento si potrebbe aggiungere più ghiaccio, oppure usare un contenitore e del ghiaccio con delle forme particolari, ad esempio, un contenitore cilindrico con un’area di base piccola, così da poter distinguere più facilmente le variazioni del livello dell’acqua, e dei pezzi di ghiaccio, o magari uno solo sufficientemente grande (come abbiamo visto, maggiore è la quantità di ghiaccio, migliore la sensibilità rispetto al suo volume), di forma simile a quella del contenitore ma leggermente più piccolo così da non incastrarsi e permettergli di galleggiare liberamente.

Conclusioni

Cosa ci dice questo risultato? Sicuramente che lo scioglimento degli iceberg, causato dall’aumento delle temperature medie, non contribuisce all’innalzamento del livello del mare. Semmai questo fenomeno potrebbe essere ricercato nella dilatazione termica della stessa acqua. Infatti, essendo il coefficiente di dilatazione volumica dell’acqua circa 0.21 \times 10^{-3} \mathrm{K}^{-1}, questo vuol dire che, se abbiamo dell’acqua in un contenitore a forma di parallelepipedo con base quadrata di lato 1 m, con il livello del liquido inizialmente ad 1 m dal fondo, alzando la sua temperatura di un grado il livello dell’acqua si alzerà di 0.21 mm. Pochino, ma se invece di un cubo d’acqua di 1 m di altezza abbiamo un parallelepipedo con la stessa base ma di altezza, ad esempio, di 100 m, la variazione del livello dell’acqua per un incremento della temperatura di un solo grado sarà di 2.1 cm, quindi già apprezzabile.

In conclusione, benché sia inutile tenere gli occhi sugli iceberg per quanto riguarda la paura di uno scenario di un mondo sommerso dalle acque, non c’è da stare comunque tranquilli.

Ringraziamenti

Un grazie necessario va ai miei coinquilini, Candace, Stephen ed i loro gatti, che mi assecondano in queste e tante altre “stramberie”.

Acknowledgments

A special thank to my roommates, Candace, Stephen and their cats, who support me in these and many other “eccentricities”.

 
About the author

Pasquale

Triennale in Fisica alla Federico II di Napoli e Magistrale in Astronomia ed Astrofisica a La Sapienza di Roma, ora mi ritrovo in Canada, alla University of Lethbridge, come studente di dottorato in Fisica Teorica. Il mio lavoro di ricerca al momento concerne un'estensione del principio di indeterminazione di Heisenberg, suggerita da diverse teorie di Gravità Quantistica, e l'applicazione di questa estensione a diversi sistemi quantistici, alla ricerca di nuovi fenomeni che possano essere osservati e che possano quindi permettere di fare valutazioni sulla modifica stessa e sulle teorie di di Gravità Quantistica.

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