Il Redshift ed i Semafori Relativistici

redshift

Uno tra gli omini dei semafori più famosi!

Benché i semafori siano utili a regolare il traffico, evitando ingorghi ed incidenti, per gli autisti a volte risultano una noia: dover aspettare che un semaforo diventi verde quando si è ad un incrocio deserto può risultare stancante, specie se situazioni di questo genere si ripetono ogni poche centinaia di metri. Quindi vi propongo qui un trucchetto fisico (spoiler alert: molto poco realizzabile) che vi consentirà di far diventare verde il rosso dei semafori.

A beneficio di chi approccia per la prima volta a discorsi come l’effetto Doppler relativistico e riguardanti la lunghezza d’onda della luce, farò prima un piccolo passo indietro.

Effetto Doppler relativistico

Tutti conoscerete quello classico, quell’effetto per cui, se una macchina si sta avvicinando a voi e vi oltrepassa sentirete il rompo del suo motore prima ad una frequenza maggiore e poi scendere verso una più bassa. Spieghiamo brevemente ed intuitivamente questo fenomeno:
il suono non è altro che un’onda, caratterizzata da una sua frequenza e una sua lunghezza d’onda. Guardando quest’ultima si capirà più facilmente il motivo dell’effetto Doppler classico.

Cos’è una lunghezza d’onda? Se prendete una corda e la fate oscillare, la lunghezza d’onda è la distanza tra due creste successive. Nel caso di un suono, che è un’onda di pressione che si propaga in un mezzo, più è breve la lunghezza d’onda e più il suono è alto.

lunghezza d'onda

Cos’è una lunghezza d’onda? (fonte: Wikipedia)

Ora però pensiamo ad una sorgente sonora che si sta muovendo. Questo vuol dire che la produzione delle creste non avviene più nello stesso punto ma, se la sorgente si sta avvicinando, avviene in punti sempre più vicini a noi. Ora qui ci vuole un po’ di attenzione. Tutto questo vuol dire che è come se spostassi in avanti la figura che ho inserito prima. In questo modo la distanza tra una cresta della vecchia figura e una delle nuova diventa più piccola, quindi la lunghezza d’onda sarà diminuita ed io sentirò un suono più alto. Al contrario, se la sorgente si sta allontanando, seguendo gli stessi ragionamenti, sentirò un suono più basso.

A questo punto è facile spiegare cos’è l’effetto Doppler relativistico: molto semplice, è l’effetto Doppler ma, invece che rispetto al suono, rispetto alla luce. Per la luce, lunghezza d’onda minore vuol dire che un colore si sposta verso il blu (spesso si parla di blushift), mentre lunghezza d’onda maggiore vuol dire spostarsi verso il rosso (in questo caso si parla di redshift).

Dimostrazione e Definizione di Redshift

Chi non vuole leggerla può saltare direttamente alla formula finale.

Proviamo a ricavare una relazione tra la frequenza emessa da una sorgente e quella osservata da un osservatore in moto rispetto alla prima con una velocità v.

Sappiamo che la relazione che lega la frequenza \nu, la lunghezza d’onda \lambda e la velocità della luce c (nel seguito considereremo la velocità della luce nel vuoto, che è di 299 792,458 km/s o, per facilitare i calcoli, di 300 000 km/s) è:
\lambda\nu=c,
da cui, il tempo che passa tra la ricezione di due creste d’onda (nel caso della luce faremo da qui in poi riferimento al massimo del campo elettrico) da parte di un osservatore fermo rispetto alla sorgente è
t=\frac{1}{\nu}=\frac{\lambda}{c}.

Se l’osservatore si muove la relazione diventa
t=\frac{\lambda}{c-v}=\frac{c}{c-v}\frac{1}{\nu}=\frac{1}{1-\beta}\frac{1}{\nu},
dove
\beta=\frac{v}{c}.

Ricordandoci del fenomeno relativistico della dilatazione temporale, passando al sistema di riferimento in cui l’osservatore è fermo, l’intervallo di tempo tra la ricezione di due massimi del campo elettrico viene modificato di un fattore 1/\gamma, dove
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}},
ovvero
t_o=\frac{t}{\gamma}=\frac{1}{\gamma(1-\beta)}\frac{1}{\nu}=\frac{\sqrt{1+\beta}}{\sqrt{1-\beta}}\frac{1}{\nu}
oppure
\nu_o=\frac{1}{t_o}=\frac{\sqrt{1-\beta}}{\sqrt{1+\beta}}\nu\Rightarrow \frac{\nu}{\nu_o}=\frac{\sqrt{1+\beta}}{\sqrt{1-\beta}}.

Ricordando la relazione tra la frequenza e la lunghezza d’onda, possiamo riscrivere la stessa relazione in funzione di quest’ultima, che diventa
\frac{\lambda_o}{\lambda}=\frac{\nu}{\nu_o}=\frac{\sqrt{1+\beta}}{\sqrt{1-\beta}},
o, ancora, volendo ottenere una relazione che ci dica quanto sia la variazione della lunghezza d’onda rispetto alla lunghezza d’onda della radiazione emessa,
z=\frac{\Delta\lambda}{\lambda}=\frac{\lambda_o-\lambda}{\lambda}=\frac{\sqrt{1+\beta}}{\sqrt{1-\beta}}-1,
dove abbiamo introdotto la quantità z, nota come redshift, che ci dice quale sia lo spostamento della lunghezza d’onda osservata rispetto a quella di emissione. Per come è stata definita, ci aspettiamo un valore positivo di z in caso di allontanamento della sorgente, nel qual caso si osservano lunghezze d’onda più grandi, oppure un valore negativo di z in caso di avvicinamento della sorgente, nel qual caso si osservano lunghezze d’onda più piccole (in questo caso si parla anche di blushift perché la radiazione visibile tende a spostarsi verso il blu).

Ed ora cambiamo colore ai semafori!

La lunghezza d’onda del rosso è di circa 610 \rm{nm} (1\rm{nm}=10^{-9}\rm{m}), mentre quella del verde è di circa 510 \rm{nm}, quindi vuol dire che:
\lambda=610 \rm{nm}
e, visto che vogliamo uno spostameto della lunghezza d’onda dal rosso al verde,
\Delta\lambda=(610-510) \rm{nm}=100 \rm{nm}.

Con un po’ di matematica si arriva a:
v=c\frac{\left(\frac{\Delta\lambda}{\lambda}+1\right)^2-1}{\left(\frac{\Delta\lambda}{\lambda}+1\right)^2+1}\simeq45200 \rm{km/s}\simeq 163000000 \rm{km/h}
Una bella velocità!

E cosa accadrebbe al giallo e al verde a questa velocità? Sapendo che la lunghezza d’onda del giallo è di circa 590 \rm{nm}, per questo colore abbiamo:
\Delta\lambda=\lambda\left[\sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}}-1\right]\simeq 93 \rm{nm}
quindi la nuova lunghezza d’onda sarebbe di 497 \rm{nm}, cioè il giallo diventerebbe blu, mentre il verde, ripetendo gli stessi calcoli, avrebbe una lunghezza d’onda di 430 \rm{nm}, cioè diventerebbe indaco, quasi viola!

Ma non temete, se mai riusciste a raggiungere una tale velocità e passaste con il rosso, la multa vi arriverebbe lo stesso, perché solo voi avreste visto il rosso diventare verde, per il vigile fermo vicino al semaforo quello continuava ad essere rosso. Quindi state attenti e moderate la velocità 😛

 
About the author

Pasquale

Triennale in Fisica alla Federico II di Napoli e Magistrale in Astronomia ed Astrofisica a La Sapienza di Roma, ora mi ritrovo in Canada, alla University of Lethbridge, come studente di dottorato in Fisica Teorica. Il mio lavoro di ricerca al momento concerne un'estensione del principio di indeterminazione di Heisenberg, suggerita da diverse teorie di Gravità Quantistica, e l'applicazione di questa estensione a diversi sistemi quantistici, alla ricerca di nuovi fenomeni che possano essere osservati e che possano quindi permettere di fare valutazioni sulla modifica stessa e sulle teorie di di Gravità Quantistica.

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