Paradosso con Treno Relativistico – Parte 1

La teoria della relatività ha suscitato negli anni molti interrogativi, esplicitati in paradossi, a causa dei risultati controintuitivi che questa teoria propone. Un esempio l’abbiamo già proposto con il paradosso dei gemelli.

Il paradosso che vorrei portare qui è un paradosso noto sotto molte forme e che considera l’effetto relativistico della contrazione delle distanze.
Personalmente, lo conoscevo come il paradosso dell’auto e del garage. Successivamente l’ho ritrovato riscritto in termini di treno e galleria e, su wikipedia, di scala e casa, ed io ve lo propongo con questa storia.

Treno

Immagine di greenreport.it 

Immaginiamo di trovarci nell’anno 31415 (immaginiamo anche che, nel frattempo, l’uomo non sia estinto) e che un tecnico di un luna park futuristico decida di creare una montagna russa. La tecnologia permette di far viaggiare treni a velocità prossime a quella della luce ed il nostro tecnico, che non conosce la teoria della relatività, decide di porre in un punto dell’attrazione un tunnel lungo esattamente quanto il treno e, per rendere le cose più interessanti, di installare un meccanismo che faccia attivare degli schermi laser che, eventualmente, taglierebbero qualsiasi cosa avesse la sfortuna di trovarsi nella loro sezione. Questi schermi sono posizionati esattamente fuori il tunnel, così che il treno, fermo al centro del tunnel, è imprigionato dagli schermi senza che questi lo tocchino.

Il meccanismo di attivazione degli schermi funziona in questo modo: sul treno, in una particolare posizione che calcoleremo, sarà installata un’antenna che, toccando un dispositivo al centro del tunnel, invia due fotoni, uno verso l’entrata, l’altro verso l’uscita del tunnel, i quali, arrivati su appositi rilevatori alle estremità del tunnel, attivano i due schermi laser (per semplicità supponiamo che l’emissione dei fotoni e l’attivazione degli schermi sia istantanea, così l’unico intervallo temporale da tenere in considerazione sarà quello relativo al volo dei fotoni). Inoltre gli schermi saranno attivi solo per un istante. In questo modo, se il treno si trova nella posizione relativa ad uno degli schermi viene tagliato, altrimenti non c’è modo che gli schermi possano interferire con il suo viaggio.

Ricordando che il tecnico non conosce la relatività, calcoliamo, quindi, dove dovrebbe trovarsi l’antenna secondo la meccanica classica. (Chi non volesse seguire i passaggi, può saltare alla conclusione.)

Calcolo della posizione dell’antenna sul treno

Innanzitutto notiamo che l’antenna deve essere spostata verso il muso del treno, così che, mentre i fotoni viaggiano verso i rivelatori e fanno attivare gli schermi, il treno si sposti in avanti trovandosi al centro del tunnel nel momento dell’attivazione degli schermi.
Indichiamo con \Delta lo spostamento in avanti dell’antenna rispetto al centro del treno.
Se L è la lunghezza del tunnel, e quindi del treno in quiete, i fotoni, che viaggiano a velocità c, dovranno coprire una distanza pari a L/2. Lo faranno in un tempo T pari a
T=\frac{L}{2 c}
Supponiamo, infine, che il treno si muova ad una velocità v.

Calcoli alla mano, quindi, avremo che il centro del treno, nel tempo di volo dei fotoni, si sposta di una distanza pari a
\Delta=Tv=\frac{L}{2 c}v=\frac{L}{2}\beta,
quantità che corrisponderà, quindi, con la distanza dell’antenna dal centro del treno, avendo indicato con \beta la quantità v/c, come è usuale in relatività.

Tutto contento, il nostro tecnico invia il progetto al direttore del luna park, che conosce un po’ di relatività. Infatti gli fa notare che non ha considerato alcun effetto relativistico, in particolare quello della contrazione delle lunghezze. Infondo, però, fa notare il direttore, è un errore veniale, infatti il treno in moto, comprimendosi, avrà una lunghezza inferiore al tunnel, scampando, quindi, il pericolo di essere distrutto dagli schermi.

Il direttore si fa anche due conti, per essere sicuro che il treno, effettivamente, si salvi.

Calcolo per la verifica della sicurezza del treno

Dalla relatività, sappiamo che la lunghezza del treno diminuisce di un fattore 1/\gamma, dove
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}.
Quindi la lunghezza del treno in moto sarà
L_1=\frac{L}{\gamma}=L\sqrt{1-\beta^2}.

Lo stesso discorso vale per la distanza dell’antenna dal centro del treno, \Delta.
Il tempo che i fotoni impiegano ad arrivare ai rilevatori degli schermi rimane T, come calcolato prima, perché per un osservatore fermo rispetto al tunnel non accade nulla. In questo tempo, il muso del treno si sposta dalla posizione iniziale
x_{ai}=\frac{L/2-\Delta}{\gamma}
alla posizione finale
x_{af}=\frac{L/2-\Delta}{\gamma}+Tv=\frac{L}{2}(\frac{1}{\gamma}-\frac{\beta}{\gamma}+\beta)=\frac{L}{2}\frac{1-\beta+\beta\gamma}{\gamma}.
Essendo il treno lungo L/\gamma, il problema, quindi, sta nel capire se il termine \frac{L}{2}\frac{1-\beta+\beta\gamma}{\gamma} sia minore di L/2, nel qual caso lo schermo anteriore non taglia il treno, maggiore di L/2 + L/\gamma, nel qual caso il treno sarà completamente fuori dal tunnel prima che siano attivati gli schermi, o sia compreso tra questi due valori. In quest’ultimo caso il treno viene tagliato.

Supponiamo, allora, che valga il caso in cui la posizione finale sia maggiore di L/2. Possiamo scrivere
\frac{L}{2}\frac{1-\beta+\beta\gamma}{\gamma}>\frac{L}{2}
\frac{1-\beta+\beta\gamma}{\gamma}>1.
Semplificando ed esplicitando \gamma
(1-\beta)\sqrt{1-\beta^2}+\beta>1
(1-\beta)\sqrt{1-\beta^2}>1-\beta

Siccome la quantità 1-\beta è strettamente maggiore di 0 (infatti non può essere minore di 1 perché \beta è minore di 1 e non può essere nulla perché la velocità v per oggetti dotati di massa, come il treno, non può che essere minore della velocità della luce), possiamo scrivere
\sqrt{1-\beta^2}>1
1-\beta^2>1
\beta^2 < 0,
condizione che sappiamo essere falsa perché \beta assume valori reali. Quindi non possiamo fare altro che negare l’ipotesi e dire che non è possibile che la posizione finale del muso del treno sia esterna al tunnel. Questo fa in modo che lo schermo non tagli il treno.
Un ragionamento analogo vale per la coda del treno, che, trovandosi all’interno del tunnel all’attivazione degli schermi, si salva.

Quindi il tecnico ed il direttore del luna park sono felici perché sono riusciti a realizzare un’attrazione piena di suspance e assolutamente sicura. Decidono quindi di far pubblicità a questa nuova attrazione, aspettando di realizzarla e di inaugurarla. Ma proprio il giorno dell’inaugurazione accade qualcosa di inaspettato: una folla preoccupata di manifestanti, facenti parte del movimento M.A.G.R.E. (Movimento Anti-Giostre RelativistichE) si presenta con striscioni e cartelli sui quali si legge che la giostra non è assolutamente sicura e che sia il tecnico sia il direttore hanno sbagliato a fare i conti!

La chiave del ragionamento dei manifestanti sta nel dire che, è vero che, nel sistema di riferimento del tunnel, la lunghezza del treno si contrae, entrando ampiamente nel tunnel, ma nel sistema di riferimento del treno è il tunnel che si contrae, per le stesse relazioni che abbiamo esposto prima. Contraendosi risulta più corto del treno, per il quale, quindi, non ci sarebbe via di scampo. Infatti, l’unica possibilità, secondo i manifestanti, sarebbe che, all’attivazione degli schermi il treno sia completamente fuori dal tunnel, ma, siccome la coda del treno si trova dietro all’antenna e, quindi, alla sorgente dei fotoni che attivano gli schermi, questo vorrebbe dire che il treno dovrebbe viaggiare più veloce della luce per salvarsi, cosa non possibile. Quindi questa attrazione, pubblicizzata per così tanto tempo, secondo i manifestanti, non è assolutamente sicura!

Se vi trovaste davanti ad un tale caso cosa fareste? Salireste sopra il treno, fidandovi del direttore, oppure, ritenendo che la tesi della folla sia più solida, vi unireste a loro manifestando contro la sicura brutta sorte che farebbero i passeggeri di quel treno? E soprattutto, ci saliate o meno, perché lo fareste?

Tra qualche giorno inserirò la risposta, con aggiunta di calcoli ed immagini, ma nel frattempo provateci voi a spiegare come stanno realmente le cose: il treno viene tagliato oppure no? Scrivete nei commenti e, se vi va, sul forum.

 
About the author

Pasquale

Triennale in Fisica alla Federico II di Napoli e Magistrale in Astronomia ed Astrofisica a La Sapienza di Roma, ora mi ritrovo in Canada, alla University of Lethbridge, come studente di dottorato in Fisica Teorica. Il mio lavoro di ricerca al momento concerne un'estensione del principio di indeterminazione di Heisenberg, suggerita da diverse teorie di Gravità Quantistica, e l'applicazione di questa estensione a diversi sistemi quantistici, alla ricerca di nuovi fenomeni che possano essere osservati e che possano quindi permettere di fare valutazioni sulla modifica stessa e sulle teorie di di Gravità Quantistica.

Readers Comments (2)

  1. Io non sono un grande esperto di relatività, e sto ancora approfondendo bene le sue leggi, i suoi calcoli eccetera, ma se ipotizzassimo che la lunghezza di questo tunnel sia 100 m (solo per metterla in percentuale) e che il treno viaggi a 1 m/s più lentamente della velocità della luce, la sua lunghezza diventerebbe circa 8.17 mm, quindi lo 0.00817 % della lunghezza del tunnel, quindi dovrebbe salvarsi! Non so dal punto di vista del treno, ma da quel che so io mi fiderei del direttore!

     
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    • Ciao Jan. Ottima osservazione! Ed in effetti è la stessa del direttore nel mio racconto. Ma cosa accadrebbe se tu facessi i calcoli suggeriti dal M.A.G.R.E. (quanto mi diverte ‘st’acronimo XD)? Loro suggeriscono che se tu fossi nel treno, vedresti il tunnel muoversi verso di te, quindi sarebbe questo a contrarsi. Se tu rifacessi i conti in questo caso, vedresti che è il tunnel questa volta ad essere lungo solo 8.17 mm, mentre il treno rimarrebbe di 100 m, con futura distruzione assicurata del treno.
      Ma non ti preoccupare, dovrai aspettare solo un paio di giorni prima che pubblichi la risposta che taglierà la testa al toro. Ti dico solo che i calcoli nella risposta sono un po’ più complicati di quelli proposti in questo articolo, ma i risultati sono sorprendenti, gettando luce su un altro fenomeno proprio della relatività.

       
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