Gli urti

In questo articolo affronteremo l’argomento “urti”, ovvero uno dei maggiori casi in cui gli studenti devono applicare i principi di conservazione della quantità di moto.

Esistono due tipi di urti: urto elastico e urto anelastico.
Prima di arrivare ad analizzarli separatamente, sottolineiamo un concetto fondamentale: l’urto fra due oggetti avviene in una frazione di secondo. In quel breve lasso di tempo noi possiamo evitare di considerare forze dissipative, quindi possiamo considerare il sistema come isolato. La quantità di moto dei corpi che si scontrano quindi si conserva.

ATTENZIONE! Le equazioni nei primi due paragrafi valgono SOLO per scontri frontali! Per scontri “obliqui”, leggere il terzo paragrafo.

Urto elastico

Un urto si definisce elastico se si conservano sia la quantità di moto che l’energia cinetica del sistema.

Secondo questo enunciato, avremo quindi un sistema come questo:

   \left\{\begin{matrix}  m_{1}v_{1i} + m_{2}v_{2i} + ... = m_{1}v_{1f} + m_{2}v_{2f} + ...  \\  \\  \\  \frac{m_{1}v_{1i}^{2}}{2} + \frac{m_{2}v_{2i}^{2}}{2} + ... = \frac{m_{1}v_{1f}^{2}}{2} + \frac{m_{2}v_{2f}^{2}}{2} + ...  \end{matrix}\right.   ~

Le due formule non dovrebbero sembrare nuove. Nella prima equazione si effettua il confronto fra la somma di tutte le quantità di moto dei singoli oggetti prima e dopo l’urto.
Nella seconda equazione si effettua la somma fra le singole energie cinetiche di tutti gli oggetti prima e dopo l’urto.

Ricorda! Nell’urto elastico i corpi dopo l’urto viaggiano separati quindi il numero di quantità di moto ed energie cinetiche da calcolare prima dell’urto è pari a quelle da calcolare dopo!

Urto completamente anelastico

Dopo questo urto, invece, i corpi rimangono a contatto, quindi la massa dopo l’urto dei corpi sarà la somma delle singole masse e la velocità sarà unica. Questo implica che ci sia solo un’incognita nella nostra equazione. Quindi in questo caso ci basta solo la conservazione della quantità di moto per risolvere il nostro esercizio. Analizziamo l’equazione:

   m_{1}v_{1i} + m_{2}v_{2i} + ... = (m_{1}+ m_{2} + ...)v_{f}    ~

dove natualmente a sinistra aggiungiamo tutte le quantità di moto dei nostri corpi. Ed a destra, fra parentesi, SOLO le loro masse.

Gli urti non lungo una retta

Se avete notato, finora abbiamo sempre immaginato uno scontro frontale. Ma che cosa accadrebbe se i due corpi, scontrandosi, cambiassero la loro direzione? In realtà non è così immediata la risposta. Infatti in questi casi bisogna tener conto della forma e della dimensione dei due oggetti. Per semplicità, immaginiamo di avere a che fare con due sfere DI UGUALE MASSA.

Prendiamo la sfera 1 e posizioniamola su un piano. In seguito prendiamo la sfera 2 e lanciamola contro la sfera 1.
Abbiamo detto che le sfere cambieranno direzione, quindi oltre a sapere che si tratterà di urto elastico, sappiamo che avremo due vettori che indicheranno la velocità di ogni sfera. Chiamiamo per semplicità \vec{v_1} il vettore velocità della prima sfera e rispettivamente \vec{v_2} il vettore della seconda.

Trattasi di urto elastico: abbiamo bisogno quindi delle equazioni sia di quantità di moto che di energia cinetica.

Quantità di moto:
   m_{1}\vec{v_1i} + m_{2}\vec{v_2i} = m_{1}\vec{v_1} + m_{2}\vec{v_2}   ~

Poichè la nostra sfera 1 parte da ferma, possiamo semplificare:

   m_{2}\vec{v_2i} = m_{1}\vec{v_1} + m_{2}\vec{v_2}   ~

Avendo imposto per ipotesi che la massa delle due sfere sia uguale, possiamo dividere anche per la massa e avremo:

   \vec{v_2i} = \vec{v_1} + \vec{v_2}   ~

Possiamo quindi dire che la somma vettoriale delle velocità finale è pari al vettore della velocità iniziale della sfera che lanciamo.

Energia Cinetica
   \frac{m_{1}v_{1i}^{2}}{2} + \frac{m_{2}v_{2i}^{2}}{2} = \frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{2}}{2}

In questa equazione possiamo dividere per  \frac{1}{2} m ~ , inoltre  v_{1i} è sempre pari a 0. Detto questo avremo:

   v_{2i}^{2} = v_{1}^{2} + v_{2}^{2}

Cosa vi ricorda questa equazione? Un quadrato è uguale alla somma di due quadrati… Il teorema di Pitagora!
Esso si applica come sapete ai triangoli rettangoli, quindi possiamo finalmente dire che:

Se una biglia ferma viene colpita da una biglia in movimento di uguale massa, esse acquisiranno velocità vettorialmente perpendicolari.

Spero di essere riuscito a spiegare in modo chiaro questi concetti. Vi ricordo che per qualsiasi chiarimento potete sempre scriverci nei commenti!

 

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