Il moto armonico

Si definisce moto armonico il movimento che si ottiene proiettando su un diametro le posizioni di un punto materiale che si muove su una traiettoria circolare.

Riferendoci all’immagine notiamo che il moto di P è un moto uniforme, invece il moto di Q non è uniforme ma è un moto accelerato quando va verso il centro, decelerato quando va verso gli estremi.

Quindi l’accelerazione è massima in O e minima agli estremi.

La velocità, al contrario, quando è in O è nulla, massima quando è agli estremi.

Dal grafico spazio-tempo si possono dedurre le grandezze fondamentali del moto armonico:

– l’ampiezza dell’oscillazione è la distanza che separa il valore massimo della curva da quello centrale, ed è uguale al raggio della circonferenza

– il periodo è il tempo necessario per fare un’oscillazione completa T = 1/f

– la frequenza è il numero di oscillazioni complete effettuate in un secondo f = 1/T

– la velocità angolare che corrisponde al rapporto fra l’angolo spazzato (percorso) dal punto sulla circonferenza e il tempo impiegato per spazzarlo (percorrerlo). La formula è:

ω = 2 π f

o

ω = 2 π / t

La curva che compare nel grafico spazio-tempo del moto armonico si chiama cosinusoide.

La legge della posizione ovvero dello spazio fra il centro della circonferenza e la proiezione del punto dalla circonferenza sul diametro, risulta essere :

s = r cos α

ma poichè α equivale a ω * t , la legge in funzione del tempo sarà:

s= r cos(ω t)

r è il raggio, la grandezza ω è chiamata pulsazione; t è l’istante di tempo. α è l’ angolo al centro formato dal diametro e dal raggio che unisce il centro e la posizione del punto sulla circonferenza.

La legge della velocità tangenziale alla circonferenza, come visto nel moto circolare, si calcola così:

V0 = (2 π r)/t

poichè (2 π ) / t equivale a ω , diremo che la velocità tangenziale alla circonferenza si calcolerà così:

V0 = ω * r

la velocità che ci interessa per il moto armonico non è questa, ma quella lungo il diametro. Utilizzando vari teoremi con angoli e triangoli, che purtroppo per ora non possiamo farvi capire perchè non abbiamo immagini utili e perchè vi confonderebbe di più se lo scrivessimo, arriveremo ad un punto tale da dire che la velocità lungo il diametro è uguale a:

-V0 * sen α si antepone il segno meno poichèil verso della velocità lungo il diametro è opposto al verso della velocità lungo il raggio (opposta a sua volta a quella tangenziale).

Ricordando le scomposizioni spiegate poco prima e scomponendo quindi sia V0 che α , si arriverà alla formula:

v = -ω r sen (ω t)

r è l’ampiezza dell’oscillazione completa, quindi il raggio; ω è la pulsazione; t il tempo.

v = w r è il massimo modulo della velocità del corpo, poichè l’ angolo α sarà di 90° e il suo seno sarà 1.

Il grafico velocità-tempo in figura.

La legge dell’accelerazione nel moto armonico lungo il diametro risulta essere:

ax = -ω2 r cos ω t

dove ω è la pulsazione; r il raggio; t il tempo.

ac = ω2 r è il massimo modulo dell’accelerazione del corpo poichè la proiezione del nostro punto sul diametro risulta essere uguale al raggio. Questa formula indica l’ accelerazione centripeta spiegata nel moto circolare.

Per capire come si arriva alla precedente formula dell’ accelerazione lungo il diametro, facciamo riferimento al teorema delle due rette parallele tagliate da una trasversale (in figura). Grazie a tale teorema sappiamo che:

PQ:AQ=SC:SA

nel nostro caso quindi:

ax : ac = x : r

da qui:

ax = ac * x / r

sostituendo ad ogni incognita la sua formula otteniamo:

ax = ω2 r * r cos(α) / r

α = ω t quindi:

ax = ω2 r * r cos(ω t) / r

semplifichiamo r / r e si ottiene la formula definitiva:

ax = ω2 r cos(ω t)

Poichè l’ accelerazione lungo il diametro è opposta al moto, anteponiamo il segno “-” .

Esercizi svolti per i visitatori

Problema:

Un punto materiale, che si muove di moto armonico con frequenza f = 0,64 Hz, occupa la posizione s = 2,2 cm rispetto al centro dell’oscillazione.
Calcola il valore dell’accelerazione a cui è sottoposto il punto materiale quando occupa tale
posizione.

Soluzione:

sappiamo che l’accelerazione nel punto x si trova:
ax = ω2 x

ω = 2 π f (utilizziamo la frequenza poichè abbiamo questa come dato)

di conseguenza la formula finale sarà:

ax = (2 π f)2 x

 

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