Sfera con densità di carica non uniforme
  • Beatrice
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    Sfera con densità di carica non uniforme

    da Beatrice » sab mar 16, 2019 9:01 am

    Potreste aiutarmi in questo problema?
    Su una sfera di raggio R=10cm centrata nell’origine è distribuita simmetricamente rispetto all’asse Z una densità di carica σ=σocos(θ) con σo=10nCm2. Determinare il valore del campo elettrico nell’origine e della differenza di potenziale fra l’origine e un punto all’infinito.
    Allegati
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    ho provato a integrare dq=σ2πRsin(θ)Rd(θ)ma l integrale mi viene nullo.

  • Pasquale
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    Re: Sfera con densità di carica non uniforme

    da Pasquale » sab mar 16, 2019 6:54 pm

    Il tuo risultato è corretto. Infatti, dato il segno della distribuzione di carica, i due emisferi hanno carica opposta. Di conseguenza la carica totale è nulla. In realtà, questa particolare distribuzione di cariche ti rende le cose decisamente più semplici. Per la simmetria cilindrica, il campo elettrico sarà lungo l'asse z. Siccome nell'emisfero superiore la carica è positiva, il corrispondente campo elettrico sarà diretto verso il basso. Per lo stesso motivo, il campo elettrico generato dall'emisfero in basso è diretto anch'esso verso il basso. Quindi per calcolare il campo elettrico ti basterà calcolare il campo elettrico generato da uno dei due emisferi e raddoppiarlo, sapendo che la direzione è quella dell'asse z e il verso quello negativo dell'asse z.
    Incominciamo con il calcolare la componente z del campo elettrico generato da una striscia sottile con costante di spessore infinitesimo. Ogni elemento di questa striscia contribuirà per un fattore

    Integrando per tutti i valori di abbiamo

    Integrando per abbiamo

    Sai come procedere per la differenza di potenziale?
  • Beatrice
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    Re: Sfera con densità di carica non uniforme

    da Beatrice » sab mar 16, 2019 9:24 pm

    Sinceramente no perchè è la prima volta che mi capita un problema con densità di carica superficiale non uniforme in cui bisogna usare le coordinate sferiche quindi non riesco a capirlo, comunque sul mio libro ho letto che “ una carica distribuita su una superficie sferica con densità che varia come cosθ produce all’interno un campo uniforme di valore E=P/3ε =σ0/3ε0 “ perché viene vista come un dipolo, quindi anche integrando non doveva venire lo stesso risultato?
  • Pasquale
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    Re: Sfera con densità di carica non uniforme

    da Pasquale » sab mar 16, 2019 11:36 pm

    C'era un piccolo errore nel mio post, ora l'ho corretto.
    Per quanto riguarda la tua domanda, è vero che quello è un dipolo, ma solo se visto a grandi distanze rispetto alle dimensioni del sistema. Per definizione, un dipolo è una coppia di cariche uguali ma di segno opposto, quindi la carica totale è nulla, come nel nostro caso. Per trattarlo come un dipolo, devi prima calcolarne il momento. La componente del momento lungo l'asse z rispetto all'origine è

    Ad ogni modo, al centro della distribuzione non si può usare l'approssimazione di dipolo visto che la distribuzione non è costituita da due cariche. A grandi distanze, invece, questo può essere fatto.
  • stregone
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    Re: Sfera con densità di carica non uniforme

    da stregone » lun mar 18, 2019 9:38 pm

    E come coalcolo la differenza di potenziale?

  • Pasquale
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    Re: Sfera con densità di carica non uniforme

    da Pasquale » mar mar 19, 2019 4:51 pm

    Per il calcolo del potenziale si può procedere come sopra: calcola la ddp per una carica infinitesima in un punto qualsiasi della sfera e integra. Nota che, se poniamo zero il potenziale all'infinito, ci interessa calcolare il potenziale al centro:


    Quindi, la ddp tra il centro della distribuzione e l'infinito è nulla, ossia, si farà lavoro nullo spostando una carica dall'infinito al centro o viceversa.

    Parlando con un amico, mi ha fatto notare che il problema si risolve anche in un altro modo: siccome per ogni carica nell'emisfero superiore c'è una carica nell'emisfero inferiore con carica opposta e opposta rispetto al centro, si può considerare la distribuzione in esame come formata da tanti dipoli elettrici infinitesimi. Vi invito, quindi, a rifare l'esercizio sfruttando questa proprietà. Inoltre, a questo punto è facile vedere che il potenziale al centro è nullo (se lo zero del potenziale è all'infinito), visto che il potenziale di un dipolo, al centro, è nullo.

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