Energia totale relativistica e sua conservazione
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    Energia totale relativistica e sua conservazione

    da salvio » sab gen 18, 2020 12:07 pm

    Ciao,

    sto cercando un aiuto riguardo un concetto che ho studiato in realtività e che nell'attuale corso di fisica nucelare (laboratorio + teoria) mi sta facendo impazzire. Ciò che mi fa dannare è l' "energia a riposo" e la "conservazione della E(tot)

    Il punto è questo: molto semplicemente la costante in una reazione è che l'energia totale iniziale si conserva (= E(tot) relativistica finale post processo). Qualunque sia il processo, anche nei casi macroscopici (seppur trascurabili)

    Ho quindi preso due esempi mentali ma non riesco a vedere dove mi ingarbuglio. Come dicevo la conservazione dell'energia è tale qualunque sia la forza che la fa avvenire: ad esempio se prendo una forza gravitazionale, o elastica ecc ho sempre variazione di energiaa riposo se variala cinetica. Ma procediamo..

    1) La mia idea quella di prendere un modellino con pallina grande centrale es. pianeta (forza centrale -gravitazionale) e una pallina piccola. L'omino sul pianeta nalcia la pallina in alto, il sistema di riferimento è quello del pianeta che avendo massa enorme potremmo semplificare fermo.
    L'energia totale relativistica prima del lancio è data solo dallaenergia a riposo (la cinetica relativistica apporta contributo nullo). La pallina viene lanciata e viaggia nel campo gravitazionale: nell'istante dopo il lancio ha una energia cinetica e quindi se la E(tot) si conserva avrà massa a riposo (che discende dall'energia a riposo mc^2) minore del "pre lancio". Più la pallina si allontana più guadagna energia potenziale a scapito di quella cinetica e al punto di inversione avrà massima potenziale (in fisica classica), la cinetica è nulla. Se la E(tot) relativistica si conserva allora deduco che la massa (a riposo) è di nuovo tornata come nella situazione pre lancio.
    C'è quindi un associazione biunivoca tra energia potenziale classica e energia a riposo.

    2) prendo una particella che decade. Leforze in gioco sono ora a cortissimo raggio (si parla di femtometri) quindi due particelle slegate sono due particelle a distanza finita minima (questa posizione di distanza minima èla stessa che si ha nel caso gravitazionale a infinito), semplfichiamo così il concetto.
    Il nucleo iniziale decade in due: ipotizziamo uno massivo e uno minuscolo (come la pallina dell'omino). Il professore ha detto che L'energia di legame nucleare è pari alla differenza di massa a riposo tra stato iniziale e finale (slegato).
    E qui mi impasticcio: la mia idea è modellizzare di nuovo con pallina grande e piccola: La pallina grande si divide e la pallina piccola se ne allontana: se dopo il decadimento l'energia cinetica della particella piccola (figlia) ha un certo valore allora per conservarsi l'energia totale relativistica vuol dire che in effetti c'è una differenza di massa evidenziata nell'energia a riposo che varia.
    Il punto però ora è questo: in realtà per slegarsi ha percorso un certo numero di femtometri per giungere alla sua distanza "infinita" (poco più di qualche femtometro - stato slegato) e in questo cammino ha perso energia cinetica (proprio come la pallina di prima) quindi in un certo senso la massa a riposo in questo percorso è dovuta variare di un tot proprio come per la pallina di prima. Mi sembra quindi errato calcolare l'energia cinetica nello stato slegato e sottrarlo alla energia totale iniziale, perché in questo modo non calcolo l'energia persa nel cammino.
    Tornando al paragone col pianeta, sarebbe come dire che la pallina a distanza infinita dal pianeta ha una certa energia cinetica, tale energia cinetica relativistica sottratta alla energia totale pre-lancio ha un delta energia=energia a riposo e questo delta energia è l'energia di legame pallina-pianeta: falso. L'energia a riposo a infinito ben diversa dall'energia potenziale che si ha per portare la pallina dal pianeta a infinito.

    Ad esempio se le particelle figlie fossero ferme (energia cinetica zero) a distanza di pochi fermi tra loro (stato slegato),cioè come se la pallina fosse a distanza infinita nella forza gravitazionale, allora l'energia cinetica a infinito sarebbe zero, il delta tra energia totale iniziale e energia cinetica finale mi dà esattamente 'energia a riposo finale che coincide con la energia a riposo iniziale. Dovrei concludere che quindi l'energia di legame pianeta-pallina (ossia l'energia di legame del nucleo) è nulla (nessuna variazione della energia a riposo). Il che è falso.
    Deve esserci un problema nel mio "modellizzare l'idea" ma non capisco dove.

    Non so se ho chiarito il problema, noto di non riuscire a spiegarmi perché nessuno lo capisce.Deve essere una stupidaggine ma io non riesco a vederlo :'(. Ci sto impazzendo.

    Buon we!

  • Pasquale
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    Re: Energia totale relativistica e sua conservazione

    da Pasquale » sab gen 18, 2020 6:00 pm

    Ciao.

    Innanzitutto, scusa se vado un po' di fretta e quindi la mia risposta sarà stringata. Ad ogni modo, l'energia si conserva fintantoché non ci sia un lavoro che non sia associato con una energia potentiale che stai considerando. Ad esempio, se un corpo cade, è soggetto alla forza di gravità, considerata nell'energia meccanica tramite il corrispondente termine potentiale. Quando lanci la palla, il lavoro che stai compiendo andrà a cambiare l'energia meccanica totale perché non stai considerando l'energia potenziale del lancio (che non sai neanche se esista). Tutto questo per dire che il tuo primo esempio non è corretto: quando lanci la palla, l'energia a riposo rimane costante, quello che fai è aumetare l'energia cinetica tramite il lancio. Quando poi la palla ricade e la fermi, fai un ulteriore lavoro per annullare l'energia cinetica che ridurrà l'energia totale fino a farti rimanere con la sola energia a riposo.

    Anche il tuo secondo caso però non va bene. La questione è la seguente: un sistema legato è legato perché le varie parti si attraggono con una certa energia. Tale energia, vista dall'esterno, viene osservata come una massa (perché relativisticamente parlando massa ed energia sono equivalenti). Quindi, quando l'energia di legame si manifesta come tale, ossia quando devi dividere i vari componenti, la massa corrispondente sparisce, proprio perché ora la osservi come un'energia vera e propria. Questo è il motivo per cui con una fissione si sprigiona energia e la massa totale dei prodotti della reazione è inferiore alla massa iniziale.
  • salvio
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    Re: Energia totale relativistica e sua conservazione

    da salvio » sab gen 18, 2020 6:48 pm

    Caio Pasquale, grazie per la celere risposta. Non mi aspettavo tanta rapidità:)

    Ho letto lettola risposta, tuttavia ci sono dei punti che non comprendo bene, in particolare dove scrivi
    "Tutto questo per dire che il tuo primo esempio non è corretto: quando lanci la palla, l'energia a riposo rimane costante, quello che fai è aumetare l'energia cinetica tramite il lancio"
    Se faccio aumentare l'energia cinetica tramite il lancio non dovrei avere anche una variazione di energia a riposo? In teoria E(tot)=E(R)*E(K) (relativistiche). Quindi nel suo allontanamento variando l'energia cinetica mi aspettavo una variazione di energia a riposo.
    Ad ogni modo, l'energia si conserva fintantoché non ci sia un lavoro che non sia associato con una energia potentiale che stai considerando.
    [...]
    Quando lanci la palla, il lavoro che stai compiendo andrà a cambiare l'energia meccanica totale perché non stai considerando l'energia potenziale del lancio
    Vero, ma io consideravo la conservazione dellaenergia totale relativistica come principio e non quello di cons. di energia meccanica.

    Insomma la mia idea era prendere il decadimento di un nucleo in due parti figlie come un signore che lancia la pallina (in entrambi i casi calssicamente siamo d'accordo che non si conserva l'energia meccanica), però si conserva la E(tot) relativistica secondo il noto principio.
    Ora, quello che cambia sono le scale di grandezza: una si slegaa infinito (immaginandolo comepunto), le particelle costituienti il nucleo si slegano a pochi fermi di distanza (il loro "infinito").
    Dire che l'energia di legamen nucleare è pari al difetto di E(R) equivale a dire che prendo E(tot) iniziale, sottraggo la E(K) finale e vedo l'ammanco. Dunque dipende dall'energia cinetica a infinito.
    Eppure prendendo la pallina a infinito dire che l'energia per slegarla sia pari all'energia iniziale quando era ferma nella mano dell'omino, sottratta all'energia cinetica all'infinito mi pare un errore. Eppure sono lo stesso modello.

    Inoltre la pallina, muovendosi nel campo gravitazionale, mi pare proprio variare la sua massa, varia la E cinetica relativistica edunque deve variare l' E a riposo per forza. :oops:
  • Pasquale
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    Re: Energia totale relativistica e sua conservazione

    da Pasquale » dom gen 19, 2020 12:40 am

    Se faccio aumentare l'energia cinetica tramite il lancio non dovrei avere anche una variazione di energia a riposo?
    No, l'energia a riposo è l'energia che il corpo ha a riposo, quindi è semplicemente data dalla sua massa (mc²) e da eventuali termini potenziali. Siccome la massa è uno scalare e quindi non cambia (con buona pace di quelli che parlano di massa relativistica), questo termine è costante. Lanciando la palla applichi un lavoro che andrà semplicemente a modificare l'energia cinetica.
    Vero, ma io consideravo la conservazione dellaenergia totale relativistica come principio e non quello di cons. di energia meccanica.
    L'energia meccanica relativistca è il termine 0 del quadri-impulso. Come tale, non è necessariamente costante e infatti cambia se viene applicato un lavoro o anche quando viene cambiato sistema di riferimento (boost).

    Non capisco quando dici che nel caso gravitationale il sistema si slega all'infinito. Si slega quando gli do abbastanza energia per slegarsi, e questo può avvenire in qualsiasi luogo.

    Per il caso della palla, quando è nella tua mano ha una certa energia potenziale. Se fisso il valore 0 dell'energia potenziale all'infinito, per slegarla devo darle tanta energia quanta è l'energia potenziale. D'altra parte, se tu calcolassi quanto vale la massa associata a tale energia (dividendo per c²) troveresti che è ridicolmente piccola e che quindi non la osservi. Al contrario, per le interazioni nucleari, essendo queste molto intense, la differenza di massa si vede e quella differenza di massa è proprio dovuta all'energia di legame.
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    Re: Energia totale relativistica e sua conservazione

    da salvio » dom gen 19, 2020 8:32 am

    Spero avrai voglia di parlarne ancora un po' perché mi sa che ho qualche lacuna e non riesco a individuarla perché sebbene condivida cose che dici in altre non mi ci raccapezzo rispetto a quanto pensavo di aver capito studiando e seguendo le lezioni del prof.Ti ringrazio moltissimo per il tuo aiuto :)
    No, l'energia a riposo è l'energia che il corpo ha a riposo, quindi è semplicemente data dalla sua massa (mc²) e da eventuali termini potenziali. Siccome la massa è uno scalare e quindi non cambia (con buona pace di quelli che parlano di massa relativistica), questo termine è costante. Lanciando la palla applichi un lavoro che andrà semplicemente a modificare l'energia cinetica.

    L'energia meccanica relativistca è il termine 0 del quadri-impulso. Come tale, non è necessariamente costante e infatti cambia se viene applicato un lavoro o anche quando viene cambiato sistema di riferimento (boost).
    Certamente l'energia totale non è invariante con la metrica di Minkowski Questo sì, tuttavia quando dici che non è costante nel tempo (mantenendo fisso, come faccio, il sdr) non mi ci ritrovo. A me è stato proprio spiegato che questo tipo di energia è costante nel sdr prescelto e infati negli urti si usa (un po' cme pergli urti classici) https://slideplayer.it/slide/10420223/ un po' come a pag. 7 di queste slides che ho trovato ora in rete, per intenderci.
    C'è qualcosa che mi sfugge, perché come dici tu l'energia a riposo non dovrebbe variare, tuttavia esiste il principio di conservazione dell'energia totale relativistica che impone altresì che si conservi la somma di cinetica e quella a riposo. Come possono coesistere le due cose se come dici aumentando la E cinetica della pallina e si conserva quella a riposo...dovrebbe aumentare anche quella totale. :oops:

    Faccio un esempio concreto: due palline uguali si muovono con una identica energia cinetica sulla stessa direzione ma in versi opposti e in modo che a un certo punto invertano il loro moto per attrazione. Il sdr è del centro di massa esattamente ametà essendo identiche. Le due palline soggette a forza l'una con l'altra si fermano per poi riavvicinarsi.
    Seguendo quanto dici mi verrebbe da dire che considerando la sola pallina A la sua energia a riposo non varia, essa subisce solo un lavoro della forza gravitazionale che ne diminuisce la cinetica fino ad arrestarla. Simmetricamente l'energia a riposo di B non varia:la somma delle due energie a riposo quindi non varia nell'intero percorso.
    Ora prendiamo la conservazione dell'energia totale rel., il sistema a due corpi E=Er+Ek si nota che nel punto in cui le due palline si fermano essendo E totale conservata è data dal solo contributo delle energie a riposo, mentre in un altro punto del loro moto prima dell'arresto E=E(tot) ha anche un contributo cinetico , allora Er=E_riposo varia nel suo moto.
    Mi sembra ci sia una contraddizione quindi: se guardo la sola pallina A l'energia a riposo sembra conservarsi come dici tu, ma nel sistema a due corpi no, direiche invece varia dovendodi conserva l'energia totale!
    Stessa cosa nel lancio della palla: perché allontanandosi non cambia la sua massa a riposo se cambia a conti fatti l'energia cinetica?


    Sul resto ci torno dopo perché mi sa che è meglio mettere a posto prima queste idee.

  • Pasquale
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    Re: Energia totale relativistica e sua conservazione

    da Pasquale » dom gen 19, 2020 9:55 pm

    Certamente l'energia totale non è invariante con la metrica di Minkowski Questo sì, tuttavia quando dici che non è costante nel tempo (mantenendo fisso, come faccio, il sdr) non mi ci ritrovo. A me è stato proprio spiegato che questo tipo di energia è costante nel sdr prescelto e infati negli urti si usa (un po' cme pergli urti classici) https://slideplayer.it/slide/10420223/ un po' come a pag. 7 di queste slides che ho trovato ora in rete, per intenderci.
    Negli urti la questione è diversa. Non c'è nessun agente esterno (come tu che lanci la palla) e le uniche energie in gioco sono quelle cinetica e quella potenziale elastica nella deformazione del corpo. Non essendoci altra forma di energia in gioco o agenti esterni che facciano lavoro sul sistema, è chiaro che l'energia si conservi. Nota, però, che se si considerasse attrito, per esempio nel caso di due palle da biliardo, l'energia non è più costante, perché c'è un lavoro, quello fatto dalle forze d'attrito, che non è considerato nel computo dell'energia totale. Ricorda che l'energia è costante quando il sistema è chiuso e hai solo forze conservative i cui rispettivi potenziali sono considerati nell'energia totale.
    C'è qualcosa che mi sfugge, perché come dici tu l'energia a riposo non dovrebbe variare, tuttavia esiste il principio di conservazione dell'energia totale relativistica che impone altresì che si conservi la somma di cinetica e quella a riposo. Come possono coesistere le due cose se come dici aumentando la E cinetica della pallina e si conserva quella a riposo...dovrebbe aumentare anche quella totale. :oops:
    Guardati le ipotesi del principiodi conservazione dell'energia. Come detto sopra, non è valido sempre, ma solo nel caso di sistemi chiusi e con sole forze conservative. Inoltre, a meno che tu non stia facendo i tuoi conti in relatività generale, eviterei di incudere la gravità.
    Faccio un esempio concreto: due palline uguali si muovono con una identica energia cinetica sulla stessa direzione ma in versi opposti e in modo che a un certo punto invertano il loro moto per attrazione. Il sdr è del centro di massa esattamente ametà essendo identiche. Le due palline soggette a forza l'una con l'altra si fermano per poi riavvicinarsi.
    Seguendo quanto dici mi verrebbe da dire che considerando la sola pallina A la sua energia a riposo non varia, essa subisce solo un lavoro della forza gravitazionale che ne diminuisce la cinetica fino ad arrestarla. Simmetricamente l'energia a riposo di B non varia:la somma delle due energie a riposo quindi non varia nell'intero percorso.
    Ora prendiamo la conservazione dell'energia totale rel., il sistema a due corpi E=Er+Ek si nota che nel punto in cui le due palline si fermano essendo E totale conservata è data dal solo contributo delle energie a riposo, mentre in un altro punto del loro moto prima dell'arresto E=E(tot) ha anche un contributo cinetico , allora Er=E_riposo varia nel suo moto.
    Mi sembra ci sia una contraddizione quindi: se guardo la sola pallina A l'energia a riposo sembra conservarsi come dici tu, ma nel sistema a due corpi no, direiche invece varia dovendodi conserva l'energia totale!
    Stessa cosa nel lancio della palla: perché allontanandosi non cambia la sua massa a riposo se cambia a conti fatti l'energia cinetica?
    Ottimo esempio, e infatti commetti un errore. Come detto, evitiamo di parlare di gravità altrimenti ci servirebbe la relatiità generale. Parliamo invece di forze elettrostatiche, che funzionano come quella di gravità ma senza problemi dello spazio tempo.
    Esamina una pallina da sola: inizialmente ha energia di massa e cinetica. Però questa rallenta fino a fermarmi. Se tu non considerassi l'energia potenziale dovuta all'interazione con l'altra pallina, come sarebbe sensato nel caso tu considerassi il sistema formato da una sola pallina, ovviamente ottieni che l'energia non si conserva. Infatti il sistema non è chiuso, visto che hai un altro sistema (l'altra pallina) che agisce sul sistema che stai considerando.
    Considera ora entrambe le palline. Hai l'energia cinetica di entrambe, che ovviamente non si conserva perché rallentano e poi accelerato, hai l'energia di massa (quella che chiami a riposo) e l'energia potenziale dovuta all'interazione tra le palline. L'energia totale è la somma di queste tre. Se non consideri attrito o altre forze non conservative e se escludi forze esterne, cosicché il tuo sistema sia chiuso, l'energia si conserva. Come vedi, nella soluzione del tuo esempio hai dimenticato proprio il contributo potenziale, che di fatti rende l'energia totale costante.
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    Re: Energia totale relativistica e sua conservazione

    da salvio » lun gen 20, 2020 4:19 pm

    Ottima idea usare la forza elettrostatica perché in effetti non avevo pensato alla deformazione dello spazio-tempo (considerache ho solo seguito SR e della generale non so un tubo)

    Comunque continuando sull'esempio ho capito il punto della situazione, l'unica cosa che non sapevo e vorrei chiederti è quindi che si deve considerare anche l'energia potenziale nel computo della energia totale relativistica? Nel corso che ho seguito nel primo trimestre in fatti ci si era limitati ai contributi di energia a riposo e cinetica e il principio di conservazione della E totale considerava solo questi due.

    Insomma la domanda è: Etot=Er+Ec+Ep ? Ho tre termini?

    Stupidamente pensavo che la potenziale fosse energia a riposo (cioè che per tenere Etot costante e diminuendo la cinetica aumentasse quella a riposo perforza di cose).
    Non conoscevo l'enunciato del principio con i tre termini suddetti...

    Come sempre, grazie per la tua disponibilità :)
  • Pasquale
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    Re: Energia totale relativistica e sua conservazione

    da Pasquale » lun gen 20, 2020 5:10 pm

    Qui la cosa si fa interessante. Infatti, se consideri fenomeni in fisica particellare, non sei a conoscenza a priori dei termini potenziali ed è difficile calcolarli. Sai peró che esistono. Infatti, per scindere un nucleo, o anche solo per far saltare un elettrone via dal suo atomo, devi proprio solleticare l'energia potenziale. Ad esempio, nel caso dell'atomo di idrogeno nel suo stato fondamentale, devi dare all'atomo un'energia pari all'energia di ionizzazione.

    Nel caso della fissione, quello che accade è che l'energia potenziale nel sistema, corrispondente all'interazione che tiene legato il nucleo, è molto complicata. Dall'esterno, però, quello che puoi fare è calcolare l'energia cinetica (semplicemente sapendo con che velocità si muove) e la massa del sistema, il valore della qualle sarà dato dalla massa a riposo e dalla massa corrispondente a questo termine potenziale che non sai. Quando scindi un nucleo, semplicemente fai in modo che parte di questa energia potenziale, che tu vedi come massa, si liberi (stiamo parlando per semplicità degli elementi dopo il ferro). Quindi, i prodotti di reazione avranno masse, ciascuna data dalla somma della massa a riposo dei singoli prodotti e della relativa energia potenziale, la cui somma è minore della massa della particella madre, proprio perché parte della massa della madre, che non era altro che energia potenziale dell'interazione che teneva i componenti legati, è andata via come energia.
  • salvio
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    Re: Energia totale relativistica e sua conservazione

    da salvio » lun gen 20, 2020 6:09 pm

    Eccoci era proprio qui che volevo arrivare :D

    Come dici tu nel caso nucleare quindi l'energia potenziale alla fine è il difetto di massa, detto un po' alla buona. E quello che mi chiedevo io è questo: ma alla fine dei conti quella che anche nel caso macroscopico chiamo energia potenziale non potrei considerarla (anche lì) come variazione di massa (certo infinitesima dato il fattore 1/c^2).
    Insomma anche lì la pallina carica allontanandosi (pallina macroscopica) non potrei vedere il tutto come se variasse massa l'intero sistema massa m più massa M (sistema chiuso) nel persorso di allontanamento tra le due, invece di guardare come energia potenziale classica riducendomi così a solo Etot(relativistica)=Er(rel)+Ec(rel) con Er ed Ec quella a riposo e cinetica.

    Era in realtà qeusto che mi stavo chiedendo!
  • Pasquale
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    Re: Energia totale relativistica e sua conservazione

    da Pasquale » lun gen 20, 2020 9:25 pm

    Sì, in principio potresti immaginare la massa "effettiva" della pallina carica come la somma della sua massa reale e del termine potenziale. Chiaramente, quel fattore 1/c^2 ~ 10^-18 (s/m)^2 rende la massa proveniente dall'energia potenziale del tutto inosservabile.

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