[Fisica2] Problema su Legge di Gauss
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    [Fisica2] Problema su Legge di Gauss

    da PlanetCaravan » lun apr 08, 2019 7:04 pm

    Sia data una densità di carica volumetrica distribuita uniformemente tra due piani paralleli indefiniti distanti d tra di loro e d/2 dall'origine dell'asse x .
    1) Calcolare il campo elettrostatico generato dalla distribuzione di carica
    2) disegnare il grafico di E in funzione della coordinata x .

    Dubbio :
    (i) ho immaginato la distribuzione di carica come posta sul piano mediano ai due piani indefiniti. In questo modo ho che il Campo generato dalle cariche è radiale uscente verso destra e verso sinistra.
    Mi chiedo: è corretto giustificare questo passaggio affermando che la distribuzione è uniforme?
    Mi chiedo: e se le cariche non le immaginassimo sul piano mediano ma ad esempio su un cubo posto tra i due piani, in tal caso le linee di campo tra cariche si annullerebbero ma comunque ci sarebbe da considerare il campo generato nei punti della parte compresa tra i due piani infiniti?

    (ii) Non riesco a capire perché nonostante il campo al di fuori dei due piani sia costante , nella rappresentazione grafica la soluzione presenta un campo negativo per le ascisse .
    Allegati
    Screenshot (366).png
    Screenshot (365).png

  • Pasquale
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    Re: [Fisica2] Problema su Legge di Gauss

    da Pasquale » lun apr 08, 2019 8:30 pm

    Ciao e benvenuto,

    Per prima cosa, no, non è corretto considerare la distribuzione come concentrata al centro. Prova a ragionare così: incominciamo ad analizzare il campo generato dalla distribuzione intermedia. Data la simmetria del problema, il campo elettrico deve per forza andare da un'armatura all'altra. Infatti, essendo piani indefiniti, rotazioni attorno all'asse x deve essere una simmetria, quindi il campo o è diretto parallelamente all'asse x o forma coni attorno a quest'asse. Ma anche traslazioni lungo assi ortogonali all'asse x è una simmetria, quindi dobbiamo scartare la configurazione a cono e dobbiamo per forza considerare la direzione parallela all'asse x. Infine, per tutte queste ragioni, il campo avrà la stessa intensità per tutti i punti con un dato valore delle x. Ora, se dividi la distribuzione tra le due armature in tanti parallelepipedi a base quadrata con un'altezza, nella direzione delle x nell'immagine, di dimensione variabile, e simmetrici rispetto al piano x=0, per il teorema di Gauss otterrai un flusso del campo elettrico dovuto alla sola distribuzione intermedia attraverso le due basi. Quindi questo ti da il campo elettrico sulle due basi. Chiaramente, questo campo dipenderà linearmente dalla distanza dall'origine. Se non considerassimo le armature, il campo elettrico sarebbe nullo al centro e aumenterebbe linearmente in entrambi i versi dell'asse x. In particolare, sarà positivo per x positive, in quanto, essendo la distribuzione di carica positiva, il campo andrebbe nella stessa direzione delle x positive, mentre sarà negativo per x negative, perché il campo andrà in direzione opposta al verso positivo delle x. Se a questo, poi, sovrapponiamo il campo omogeneo dovuto alle due armature, ti trovi che al centro il campo ha un determinato valore, in un verso il campo cresce, perché il campo della distribuzione intermedia e quello omogeneo saranno concordi e quindi si sommeranno, nell'altro verso decresce, perché i due campi saranno discordi e quindi si sottrarranno. Una volta superate le armature, hai solo il campo generato dalla distribuzione intermedia, con l'andamento descritto sopra: sarà positivo per le x positive e negativo per le x negative. Inoltre sarà omogeneo, visto che la distribuzione di carica totale, come vista dal di fuori, sarà quella di una lastra infinita.
  • PlanetCaravan
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    Re: [Fisica2] Problema su Legge di Gauss

    da PlanetCaravan » mar apr 09, 2019 8:48 am

    Premessa : grazie per la risposta :D
    Ci sono un paio di punti che vorrei capire meglio:
    Ma anche traslazioni lungo assi ortogonali all'asse x è una simmetria, quindi dobbiamo scartare la configurazione a cono e dobbiamo per forza considerare la direzione parallela all'asse x
    Perché , per coppie di cariche di questa distribuzione, la componente ortogonale del Campo generato da una carica verrebbe bilanciata dalla componente ortogonale del Campo generato da una carica ad essa simmetrica?
    Data la simmetria del problema, il campo elettrico deve per forza andare da un'armatura all'altra. Infatti, essendo piani indefiniti, rotazioni attorno all'asse x deve essere una simmetria, quindi il campo o è diretto parallelamente all'asse x o forma coni attorno a quest'asse. Ma anche traslazioni lungo assi ortogonali all'asse x è una simmetria, quindi dobbiamo scartare la configurazione a cono e dobbiamo per forza considerare la direzione parallela all'asse x. Infine, per tutte queste ragioni, il campo avrà la stessa intensità per tutti i punti con un dato valore delle x.
    Questo ragionamento lo posso iterare per una qualsiasi distribuzione uniforme di carica?

    Quindi questo ti da il campo elettrico sulle due basi
    ...
    In particolare, sarà positivo per x positive, in quanto, essendo la distribuzione di carica positiva, il campo andrebbe nella stessa direzione delle x positive, mentre sarà negativo per x negative, perché il campo andrà in direzione opposta al verso positivo delle x.
    Gauss ci fornisce "il modulo" del campo per un dato range di ascisse.
    Dopodiché il campo ha componente positiva per tutte le ascisse positive e componente negativa per tutte le ascisse negative, perché vettorialmente il verso del Campo (fornitoci dalle linee di campo) ci permette di dire che :
    per le ascisse negative il Campo si oppone all'asse delle x
    per le ascisse positive il Campo è concorde. Corretto?


    sovrapponiamo il campo omogeneo dovuto alle due armature
    Sulla soluzione postata dal prof si specifica che non ci sono cariche sui due piani indefiniti quindi credo non siano delle armature.


    Ultima curiosità: perché non teniamo conto del Campo agente tra le cariche di stesso segno?
    In generale mi aspetterei delle linee di campo entranti tra carica e carica ma con verso opposto che si incurvano leggermente.
  • Pasquale
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    Re: [Fisica2] Problema su Legge di Gauss

    da Pasquale » mar apr 09, 2019 3:57 pm

    Perché , per coppie di cariche di questa distribuzione, la componente ortogonale del Campo generato da una carica verrebbe bilanciata dalla componente ortogonale del Campo generato da una carica ad essa simmetrica?
    In pratica sì

    Data la simmetria del problema, il campo elettrico deve per forza andare da un'armatura all'altra. Infatti, essendo piani indefiniti, rotazioni attorno all'asse x deve essere una simmetria, quindi il campo o è diretto parallelamente all'asse x o forma coni attorno a quest'asse. Ma anche traslazioni lungo assi ortogonali all'asse x è una simmetria, quindi dobbiamo scartare la configurazione a cono e dobbiamo per forza considerare la direzione parallela all'asse x. Infine, per tutte queste ragioni, il campo avrà la stessa intensità per tutti i punti con un dato valore delle x.
    Questo ragionamento lo posso iterare per una qualsiasi distribuzione uniforme di carica?
    Non necessariamente, dipende dal tipo di simmetria della tua distribuzione. Ad esempio, se hai un cubo tra le due armature, ti aspetteresti di avere, fuori dal cubo, un campo che non va semplicemente da un'armatura all'altra, ma ha un andamento un po' più complicato.

    Gauss ci fornisce "il modulo" del campo per un dato range di ascisse.
    Dopodiché il campo ha componente positiva per tutte le ascisse positive e componente negativa per tutte le ascisse negative, perché vettorialmente il verso del Campo (fornitoci dalle linee di campo) ci permette di dire che :
    per le ascisse negative il Campo si oppone all'asse delle x
    per le ascisse positive il Campo è concorde. Corretto?
    Corretto.

    Sulla soluzione postata dal prof si specifica che non ci sono cariche sui due piani indefiniti quindi credo non siano delle armature.
    Hai ragione, non sono cariche, ero stato tratto in inganno da un dettaglio dell'immagine.

    Ultima curiosità: perché non teniamo conto del Campo agente tra le cariche di stesso segno?
    In generale mi aspetterei delle linee di campo entranti tra carica e carica ma con verso opposto che si incurvano leggermente.
    Questo è il bello del teorema di Gauss: qualunque sia la configurazione del campo tra una carica e l'altra, sai quale è il flusso del campo generato dall'intera distribuzione, che è quello che ti interessa nel problema, attraverso una superficie chiusa e orientabile. Inoltre, immagina di riuscire a risolvere le cariche, e che la tua distribuzione risulti quella di un reticolo di cariche positive. Se consideri gli stessi ragionamenti, avrai ancora un flusso uscente positivo dovuto alla quantità di carica contenuta all'interno del volume racchiuso dalla superficie, mentre il campo delle cariche all'esterno avranno flusso nullo perché il campo corrispondente che entrerà nel volume e ne uscirà. Se poi va a considerare, punto per punto, cosa accade al campo complessivo, le cose sono decisamente più complesse. Ad esempio, mi aspetterei che, data una coppia di cariche vicine, assunte uguali, nel punto medio il campo sarà nullo. Lo stesso vale se consideri quattro cariche vicine a formare un quadrato e otto a formare un cubo. Per avere un'idea, però, fermiamoci al caso della coppia e prendiamo un piano ortogonale alla congiungente delle due cariche. Se è posizionato al centro, il flusso sarà nullo perché la componente ortogonale al piano sarà nulla. Se provassimo a calcolare il campo su un piano sempre ortogonale alla congiungente ma più vicino a una delle cariche. Mi aspetterei che il flusso sia positivo nella direzione dalla carica più vicina a quella più lontana al piano. Mi aspetterei anche, e questo è il punto più importante, che il campo sarà estremamente debole.

    In sostanza, a meno che tu non sia veramente interessato a questo aspetto (e dato il problema non credo sia il caso), il campo tra le cariche è del tutto ininfluente, mentre il campo complessivo risulta essere preponderante.
  • PlanetCaravan
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    Re: [Fisica2] Problema su Legge di Gauss

    da PlanetCaravan » lun apr 22, 2019 7:39 pm

    Tutto cristallino e spiegato nei minimi particolari :D
    Grazie mille ! :oops:

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