Convenzione di Einstein sugli indici e derivazioni
  • francisco
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    Convenzione di Einstein sugli indici e derivazioni

    da francisco » dom lug 14, 2019 10:29 am

    Ciao,

    torno dopo un po' di tempo avendo avuto una piacevole esperienza sulla risposta datami la scorsa volta molto completa e che mi ha aiutato a ragionare e capire :)

    Questa volta ho un problema su questo esercizio e in particolare sulle derivazioni e la scelta degli indici (allegato).

    Il punto è che non capisco il motivo per cui derivi il q(lambda) per Q(alfa) e perché non lo deriva per Q(mu)? Inoltre procedendo aggiunge il termine di derivazione per P(beta) ma perché sceglie un'altro indice e non di nuovo alfa (perché sono diversi alfa e beta e non sceglie lo stesso indice)? E perché non mu?

    Come vedete sono un po' confuso con la convenzione, grazie a chi saprà e avrà voglia di aiutarmi :)
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  • Pasquale
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    Re: Convenzione di Einstein sugli indici e derivazioni

    da Pasquale » dom lug 14, 2019 6:09 pm

    Incominciamo con il dire che la convenzione di Einstein stabilisce che se hai due oggetti, uno covariante (indice in basso) e uno contravariante (indice in alto), con lo stesso indice, si assume una somma per quell'indice. Infatti, la forma di Liouville come è scritta di deve leggere come una somma di differenziali.

    Detto questo, andiamo per gradi. Immagina di avere una funzione, per semplicità scalare, della sola posizione e di volerne il differenziale. Questo vorrà dire che dovrai calcolare la derivata di rispetto a ogni variabile e moltiplicare ciascuna di queste derivate per il differenziale della corrispondente variabile, ossia

    dove nell'ultimo passaggio ho usato la convenzione di Einstein. Nota che l'indice è completamente arbitrario e una volta effettuata la somma sparisce, come è chiaro che così deve essere perché il membro di sinistra dell'equazione non presenta quell'indice. Ancora, nota che io mi sono rifatto al caso esplicito di relatività speciale. Il membro di destra però ti da il vantaggio che si scrive allo stesso modo qualunque sia il numero di dimensioni, anche su uno spazio curvo.

    Ora veniamo al tuo caso. Hai una funzione vettoriale . Devi trovarne il differenziale. Come abbiamo fatto sopra, questo vuol dire derivare ogni componente della funzione per ciascuna variabile e moltiplicare tale derivata per il corrispondente differenziale, ossia

    Ancora una volta ho preso il caso particolare di relatività speciale, ma l'ultimo membro è più generale.
    Perché non si usa come indice? Perché lo si è già usato nella definizione della funzione e quindi per evitare confusioni ne sono stati usati altri.
    Perché gli indici delle due somme sono diverse? Ancora una volta è per essere chiari: il primo prodotto corrisponde ad una somma di termini al variare di , il secondo ad un'altra somma al variare di

    Insomma, tutta la questione degli indici è per essere il più chiaro possibile e per far capire come vanno considerate le somme.

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